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Ippaso, √2, e i falsi storici

Ippaso di Metaponto è stato uno dei tanti filosofi della Grecia classica, più precisamente della scuola pitagorica. A dire il vero non è che poi abbiamo tutte quelle notizie storiche su di lui: tanto per dire, ci è molto più noto Carneade. (Beh, se volete proprio sapere qualcosa su di lui chiedete a Galatea). A differenza però di quest’ultimo, Ippaso ha la sua bella notorietà: le scarse conoscenze che abbiamo dicono che forse è stato ucciso dai suoi compagni perché aveva svelato al mondo alcune delle conoscenze matematiche esoteriche della setta, come l’esistenza del dodecaedro regolare; per mancanza di un ulteriore nome di colpevole, poi, a Ippaso è anche stata attribuita la scoperta di un fatto sconcertante: l’esistenza di numeri irrazionali.

Oggi nessuno si preoccupa più di una quisquilia simile, almeno in teoria; poi magari se ci pensa su si accorge che la parola stessa “irrazionale” ha un certo qual suono sinistro, e magari intuisce qualcosa. Il punto è presto spiegato, però. Pensateci: tu fai parte di una setta che ha come dogma «Tutto è numero», dove “numero” è da intendersi come “numero intero positivo, possibilmente piccolo”. Sai che la geometria è il modo perfetto per sviluppare conoscenza, proprio perché ti elevi al di sopra delle misere realizzazioni pratiche; e in effetti hai trovato – e dimostrato! – svariate proprietà matematiche. Solo che a furia di trovare nuove conoscenze hai scoperto che ci sono due segmenti il cui rapporto (“ratio”) non può essere espresso per mezzo di due numeri interi: una confutazione insomma della tua religione per mezzo di sé stessa, con l’ulteriore fregatura che non puoi nemmeno inventarti un evento miracoloso. O esci pazzo tu, o Chi È In Carica fa in modo di zittirti per sempre… una delle leggende su Ippaso afferma infatti che il tapino venne buttato in mare, che insegnasse pure ai pesci le sue eresie!

La dimostrazione dell’irrazionalità di √2 non è difficile, e la si trova facilmente sui libri o in rete. Come capita spesso, la si fa per assurdo, supponendo che invece sia una frazione del tipo a/b. Possiamo immaginare che a e b non siano entrambi pari, visto che in tal caso possiamo dividerli entrambi per 2. Ora, se a/b = √2, allora a²/b² = 2, cioè a² = 2b². Ma il quadrato di un numero dispari è sempre dispari e quello di un numero pari è sempre pari; quindi visto che a² è un numero pari allora lo è anche a; diciamo quindi che a = 2c e teniamo a mente che b deve essere dispari. Sostituendo questo valore nella formula precedente, abbiamo pertanto che 4c² = 2b², cioè 2c² = b². Ma per la stessa ragione di prima anche b deve essere pari, il che è impossibile. QED.

Occhei, spero siate riusciti a resistere e seguire i passaggi fino in fondo. Oggettivamente per noi nel ventunesimo secolo non dovrebbe esserci nulla di trascendentale, anche se probabilmente non ci sarebbe mai venuto in mente da soli questo tipo di approccio alla dimostrazione. Ippaso o chi per lui insomma è stato un tipo molto acuto, giusto? Indubbiamente sì: peccato che quella dimostrazione sia un falso storico. Un falso molto antico, se non sbaglio essa viene citata più o meno su queste linee già da Aristotele: ma nondimeno un falso. Gli storici della matematica ritengono infatti che la prima dimostrazione dell’esistenza di numeri irrazionali sia stata geometrica, il che collimerebbe con l’attenzione greca in generale e pitagorica in particolare per la geometria. Su quale fosse la dimostrazione vera e propria, però, buio profondo. Alcuni studiosi, basandosi sull’associazione tra Ippaso e dodecaedro, cioè coi pentagoni, hanno immaginato che il primo numero irrazionale ad essere stato riconosciuto come tale fosse √5, e hanno presentato una dimostrazione che parte dalla stella a cinque punte, il pentacolo faustiano insomma: se siete curiosi la trovate qui.

Data l’ovvia premessa che noi possiamo solo fare delle congetture su come operò Ippaso o chi per lui, la dimostrazione geometrica a mio parere più bella dell’irrazionalità di √2 è stata trovata da Stanley Tennenbaum negli anni ’50, ed è presentata qui a fianco. Anche in questo caso la dimostrazione è per assurdo; la cosa non è così strana, visto che la definizione stessa di numero irrazionale è per così dire in negativo («un numero che non è definibile come rapporto di due interi»). Supponiamo che √2 sia razionale; possiamo allora trovare due quadrati di lato intero positivo (il punto chiave è questo) tali che la superficie del quadrato grande sia pari alla somma delle superfici di due copie del quadrato piccolo. Impacchettiamo ora i tre quadrati come nella figura qui a fianco; i due quadrati piccoli sono fatti partire dai vertici opposti di quello grande, si sovrapporranno un po’ (la parte più scura) e lasceranno scoperte delle parti (in verde nel disegno). È immediato accorgersi che la superficie della zona in cui i quadrati si sovrapongono è uguale a quella delle due zone non coperte dai quadrati; ed è anche immediato accorgersi che tutte e tre le zone sono dei quadrati più piccoli degli originali. Ma allora possiamo applicare lo stesso ragionamento e trovare quadratini ancora più piccoli, e ancora, e ancora… Beh, no. Prima o poi ci dobbiamo fermare, perché non abbiamo a disposizione infiniti numeri interi positivi sempre più piccoli. A furia di scendere si arriva a 1, e qui ci si deve fermare per forza. Quindi la nostra ipotesi è falsa, non è possibile trovare due quadrati di quel tipo, e pertanto √2 non è razionale. QED.

Questo tipo di dimostrazione ha un nome preciso: discesa infinita. Il metodo è stato sviluppato formalmente da Fermat, e mi sa tanto che lui sia stato l’unico a usarlo seriamente, soprattutto nella teoria dei numeri; è insomma una di quelle tecniche che si presentano giusto per far fare degli ooooh! di meraviglia a chi verifica il risultato, ma che non si pretende certo vengano usate in pratica. Le cose funzionano anche così. Per i veri curiosoni, ho il sospetto che Tennenbaum sia arrivato alla dimostrazione partendo dallo sviluppo di √2 in frazione continua… ma delle frazioni continue parlerò un’altra volta.

Ah: se la cosa vi è piaciuta, in questo articolo ci sono dimostrazioni grafiche dell’irrazionalità di diversi numeri della forma “radice quadrata di un numero che non è un quadrato”. Non venitemi poi a dire che con la geometria non si possa fare nulla.