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Il paradosso di Penney

Fare una partita a testa o croce dà un brivido intenso ma breve: un lancio, ed è subito fine. Volete provare un piacere più duraturo? Proponete a un vostro amico questa variante. Ci sono otto risultati che si possono ottenere lanciando tre volte una moneta: indicando T come testa e C come croce, sono TTT, TTC, TCT, TCC, CTT, CTC, CCT, CCC. Invitate il vostro amico a scegliere una di queste successioni a suo piacere: anche voi ne sceglierete poi una, e il gioco può avere inizio. Cominciate a lanciare la moneta e a segnare le facce che escono man mano; non appena le ultime tre corrispondono alla successione scelta da uno dei giocatori, questo ha vinto. Tutto qua: ora sta a voi trovare il pollo che voglia sfidarvi.

Se ci pensate su un attimo, è evidente che certe scelte del primo giocatore sono per lui perniciose. Immaginiamo ad esempio che scelga testa-testa-testa – che d’ora in poi abbrevierò come TTT, usando C per indicare la croce. Se è davvero fortunato oppure la moneta è davvero truccata nei primi tre lanci uscirà per tre volte testa e il primo giocatore vincerà: se siamo fiduciosi sulla bontà della moneta, questo capiterà una volta su otto. E negli altri casi? Supponiamo che i primi tre lanci consecutivi in cui è uscita testa siano n+1, n+2 e n+3, e consideriamo il risultato del lancio n. Può essere stato testa? Naturalmente no, perché altrimenti i primi tre lanci consecutivi in cui è uscita testa sarebbero stati n, n+1 e n+2; quindi è stato croce. Ma allora se voi scegliete la combinazione CTT sarete voi ad avere la prima combinazione vincente, e questo capiterà negli altri sette casi su otto.

D’accordo, magari questo è un caso particolare: in fin dei conti la tripletta TTT è strana… e invece no. Qualunque sia la tripletta scelta dal vostro avversario, voi potete scegliere un’altra tripletta che vi darà una probabilità di vittoria maggiore del 50%, come potete vedere nella tabella a sinistra. Non esiste insomma una combinazione migliore di tutte: la figura a destra mostra la forza relativa delle varie triplette, e si può così vedere che, a parte quelle da polli come TTT e CCC che sono chiaramente da evitare, anche le altre formano un ciclo di forza relativa. Casi come questo si chiamano relazioni d’ordine non transitive; generalmente se A > B e B > C allora A > C, ma in casi come questo la deduzione è falsa. Questo che ho appena presentato si chiama Gioco di Penney e prende il nome da Walter Penney, che nel 1969 scrisse un articolo di ben 10 righe sul Journal of Recreational Mathematics; come al solito venne reso noto al grande pubblico da Martin Gardner che lo trattò in un articolo del 1974 per la sua rubrica “Mathematical Games”.

Noi siamo abituati a pensare alla transitività come una cosa naturale, e quindi potremmo credere che una struttura come quella del gioco di Penney sia un’eccezione. Eppure sono certo che tutti voi conoscete un altro gioco non transitivo! Avete mai fatto una partita a “sasso, forbice, carta”? Il sasso vince sulla forbice, perché la spunta; la forbice vince sulla carta, perché la taglia; la carta vince sul sasso, perché l’avvolge. Questo è un esempio molto semplice di gioco non transitivo, anche se la sua strategia di gioco è diversa visto che i giocatori mostrano il loro simbolo contemporaneamente e una partita è composta da più mani. Un esempio più calzante è quello dei tre dadi; se abbiamo un dado verde sulle cui facce ci sono i numeri 2, 2, 4, 4, 9, 9, uno bianco con i numeri 1, 1, 6, 6, 8, 8 e uno rosso con 3, 3, 5, 5, 7, 7 è meglio scegliere il dado verde che il bianco, meglio il bianco che il rosso, meglio il rosso che il verde.

Tornando al nostro gioco iniziale, può essere interessante, e soprattutto utile, il metodo mnemonico per sapere quale tripletta scegliere dopo che il nostro avversario ha scelto la sua. Barry Wolk della University of Manitoba ha scoperto un sistema davvero semplice: il primo elemento della nostra scelta sarà l’opposto del secondo elemento dell’avversario, e il nostro secondo e terzo saranno rispettivamente il suo primo e secondo. Quindi se dobbiamo misurarci contro TTC la nostra scelta sarà CTT, e via di questo passo. Purtroppo questo sistema vale solo se si gioca con triplette di lanci; una trattazione teorica più generale è stata fatta dal solito John Conway, e la potete trovare in questo articolo di Plus Magazine, dove viene anche presentata una variante del gioco da fare con un mazzo di carte invece che lanciando una moneta. Infine, per gli amanti delle simulazioni al computer, qui potete provare a scegliere una successione e vedere come il calcolatore vi bagnerà il naso.