Risposte ai problemini ferragostani
Lo so, avete già risolto tutti da un pezzo i problemini matematici ferragostani. Ma per completezza oggi vi trovate le soluzioni “ufficiali”, così potete commentare anche queste.
1. Questione di altezze
In un triangolo rettangolo due delle tre altezze coincidono con i cateti. Quindi il problema si riduce a costruire un triangolo rettangolo per cui l’altezza h relativa all’ipotenusa sia la metà dell’ipotenusa stessa c.
Ma è noto – e se non lo fosse basta considerare che i triangoli ACB, DBC e ADC sono simili – che l’altezza è il medio proporzionale dei due segmenti in cui essa divide l’ipotenusa; quindi otteniamo che la divide in realtà a metà. Il nostro triangolo pertanto non è solo rettangolo ma anche isoscele, e l’angolo più piccolo – anzi i due angoli più piccoli, essendo uguali – misura 45 gradi.
Meglio ancora, forse, accorgersi che in un quadrato le diagonali si dividono a metà; quindi il triangolo rettangolo isoscele ottenuto prendendo solo mezzo quadrato soddisfa le ipotesi.
2. Derivata
L’errore è nel secondo passaggio. È vero che generalmente la derivata della somma di più funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni; ma in questo caso il numero di funzioni non è fisso ma anch’esso variabile, quindi non si può applicare quella regola.
3. Osservazioni
A prima vista si direbbe che non è possibile sapere con certezza se c’è una persona sposata che ne guarda una non sposata, perché non sappiamo nulla dello stato coniugale di Elena. Riguardando il problema con maggiore attenzione, però, ci accorgiamo che ci sono due casi possibili: Elena è sposata, oppure Elena non è sposata. Nel primo caso, Elena che è sposata guarda Paride che non è sposato; nel secondo caso Menelao che è sposato guarda Elena che non è sposata. Quindi possiamo dire che una persona sposata ne guarda una non sposata, anche se non possiamo dire chi siano le due persone.
Gli esperti dicono che questo problema di logica risulta particolarmente difficile perché noi evitiamo se possibile il ragionamento disgiuntivo completo (quello indicato nella dimostrazione), perché più pesante da calcolare, preferendo un ragionamento euristico – in questo caso valutare le due coppie lasciando come “sconosciuto” lo stato di Elena – che di solito funziona lo stesso ed è molto più veloce, ma in alcuni casi non ci dà la risposta corretta.
4. Centro di gravità permanente
Quando la brocca è vuota, abbiamo detto che il centro di gravità è sopra il fondo, e quindi sopra il livello dell’acqua che non essendoci coincide col fondo stesso. Se riempissimo la brocca fino all’orlo, il centro di gravità sarebbe sotto il livello dell’acqua. Visto che versando l’acqua sia il centro di gravità che il livello dell’acqua si muovono in modo continuo, ci sarà un momento in cui i due valori coincideranno. Ma sia prima che dopo quel momento il centro di gravità era più alto, perché prima c’era dell’aria nella sezione tra il pelo dell’acqua e il centro di gravità, e dopo abbiamo aggiunto dell’acqua sopra il centro di gravità.
5. Fermat alla rovescia
Per quanto riguarda l’equazione di “Fermat alla rovescia” na + nb = nc, se n = 2 ci sono le infinite soluzioni in cui a=b=c-1, come per esempio 25 + 25 = 26. Nel caso n ≥ 3, il modo più semplice per vedere che non ci sono soluzioni è scrivere na e nb in base n; saranno pertanto della forma 1000…000, con rispettivamente a e b 0 nell’espressione. Ora, se li sommiamo otterremo un numero della forma 1000…0001000…000 se a≠b e 20000….000 se a=b; in ogni caso, la risposta non è una potenza di n.
(A quanto ne so, questo problema è stato proposto da Douglas Hofstadter in Gödel, Escher, Bach)
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