backup del Post

Aritmetica con gli ordinali

Abbiamo visto come i numeri ordinali corrispondano a un insieme di numeri “messi in ordine”, a differenza dei numeri cardinali che dell’ordine non si curano e sono quelli che usiamo di solito: se ho cinque caramelle in genere non mi interessa sapere qual è la prima, a meno che io non voglia iniziare con quella che mi piace di più. Finché ci limitiamo ai numeri finiti non ci sono grandi differenze; quando però si passa all’infinito non si sa mai cosa possa capitare, e il fatto che il più piccolo ordinale transfinito, ω, abbia un nome diverso dal più piccolo cardinale transfinito, ℵ₀ dà qualche sospetto. E in effetti…

Sappiamo che possiamo rappresentare un numero ordinale come un insieme ordinato, e che c’è un ordinamento canonico che viene associato. L’ordinale standard per 5 è così (1,2,3,4,5), mentre quello per ω è dato da (1,2,3,4,…). Attenzione, però: (1,2,3,4,5), (5,4,3,2,1), (42, 314, 1, π, “pippo”) sono in realtà lo stesso numero ordinale. Non importa infatti quali etichette vengono associate agli elementi dell’insieme; ciò che conta è che ce n’è uno che non ha nessun elemento alla sua sinistra, un altro che ne ha uno, un altro ancora che ne ha due, e così via. Andiamo ora avanti a definire le operazioni aritmetiche standard.

La definizione di somma di due ordinali è la loro giustapposizione, il che sembrerebbe ovvio. Proviamo allora a sommare 1+5: se scriviamo i numeri in forma canonica abbiamo (1) e (1,2,3,4,5) che non è bello perché ci sarebbero due numeri uguali nell’insieme somma, e non sappiamo bene che farci. Per semplicità userò un carattere diverso, e avremo così (1) e (1,2,3,4,5) che danno (1,1,2,3,4,5) che possiamo riscrivere come (1,2,3,4,5,6), cioè 6. Non ci credevate, vero? Ripeto, nel caso di numeri finiti non c’è nulla di strano, e tutta questa storia sembra un’inutile complicazione.

Passiamo ora a sommare 1+ω; otterremo (1,1,2,3,4,…) che riscritto in maniera canonica è evidentemente ancora ω. Anche qui nulla di strano, per noi che siamo ormai abituati all’aritmetica dei numeri transfiniti. Proviamo però a sommare ω+1. No, non è la stessa cosa di prima; nessuno ci assicura che valga la proprietà commutativa dell’addizione, che cioè a+b=b+a come capita nella nostra aritmetica usuale. La somma è (1,2,3,4,…,1); il secondo 1, quello scritto in corsivo, appartiene a una classe di numeri diversa dagli altri, visto che non ha nessun predecessore: ricordatevi che non esiste il “numero infinito”! Abbiamo scoperto due cose: che nella somma di ordinali infiniti non vale la proprietà commutativa dell’addizione e che c’è un nuovo numero ordinale, ω+1, la cui cardinalità è ℵ₀ proprio come ω. Beh, ce ne saranno almeno infiniti altri, visto che ω+2, ω+3, …, ω+ω, ω+ω+1, … sono tutti diversi.

Ma è ora di passare alla moltiplicazione. Il prodotto di due ordinali è l’insieme formato dalle coppie (ordinate) di un elemento del primo e uno del secondo insieme. Così 2·3, cioè (1,2)·(1,2,3), è dato da ((1,1),(2,1),(3,1),(1,2),(2,2),(3,2)), che tanto per cambiare vale 6. Forse avete già capito come va a finire; se calcoliamo 2·ω otteniamo ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),…) che è sempre ω, ma se calcoliamo ω·2 otteniamo ((1,1),(2,1),(3,1),…,(1,2),(2,2),(3,2),…) che è tutta un’altra roba, ed equivale a ω+ω; “due volte infinito”, che naturalmente ha sempre ℵ₀ come cardinalità ma è però diverso come numero ordinale. Vi risparmio tutte le definizioni di moltiplicazione sinistra e destra e cose del genere; se proprio volete vedere cosa succede, come sempre Wikipedia è la vostra amica. I disegnini che vedete qui nel testo arrivano da là, tra l’altro.

Come ω+ω dà ω·2, possiamo anche pensare all’esponenziale; ω·ω dà ω². Si può proseguire, arrivare a ω³, ω⁴, …, ω^ω, un ordinale piuttosto grande la cui cardinalità è… ℵ₀. Se ci pensate su, non è poi così difficile crederlo. È un po’ come la storia dell’albergo di Hilbert; gli infiniti bus che arrivano ciascuno con infiniti passeggeri corrispondono a ω², ma anche se ci fosse un infinito numero di caratteristiche diverse il Bravo Direttore d’Albergo potrà comunque trovare un buon ordinamento e assegnare a ciascuno degli ospiti una stanza tutta per lui, fregandosi le mani per i soldi guadagnati.

Nessuno ci obbliga a fermarci qua, ovvio; acendo una torre infinita di potenze ω, ω^ω, ω^(ωω), … si arriva a un nuovo numero ordinale, denominato ε₀. Sì, proprio epsilon, la lettera greca che in genere indica un numero piccolo a piacere. Ma in effetti ε₀ è il più piccolo numero che non può essere costruito a partire da ω con un numero finito di operazioni di addizione, moltiplicazione ed esponenziazione; oppure se preferite la più piccola soluzione dell’equazione k = ω^k – un’altra di quelle cose che con i numeri cardinali non erano possibili, visto che la cardinalità di 2^k è sempre strettamente maggiore di quella di k. ε₀ è anche importante perché è il primo ordinale che… Chi è stato laggiù in fondo a dire “che ha la cardinalità del continuo?” Beh, ha sbagliato. Anche ε₀ ha cardinalità ℵ₀. Esistono ordinali di cardinalità diversa, come ω₁ che è formato dall’unione di tutti gli ordinali di cardinalità ℵ₀, ma che io sappia non si usano molto, anche perché nessuno saprebbe come fare un buon ordinamento di questo insieme. L’importanza di ε₀ sta nel fatto che non si può applicare il metodo d’induzione (transfinita, per la precisione) per arrivarci; ne escono fuori conseguenze interessanti come il teorema di Goodstein che è un esempio pratico del teorema di indecibilità di Gödel.

Certo che parlare di “esempio pratico” è probabilmente una presa in giro; nulla di quanto scritto ha un qualsivoglia uso nella vita di tutti i giorni. Cantor sviluppò la teoria degli ordinali per avere una grana un po’ più fine quando si tratta con gli insiemi infiniti; gli ordinali hanno il loro spazio nella teoria dei giochi (intesi come “plays”, non “games”) ma anche in questo caso effetti pratici ce ne sono pochi. È però interessante accorgersi che spesso è possibile fare generalizzazioni (nel nostro caso dal finito all’infinito, mediante cardinali e ordinali) completamente diverse ed entrambe valide. La matematica permette anche una certa libertà, insomma.