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Il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è indubbiamente uno spauracchio per tutti i “diversamente matematici”, pur avendo – o forse proprio perché ha – una notorietà che va ben al di là delle lezioni di geometria a scuola. Nel 1960 Adriano Celentano cantava il brano “Pitagora” (testo di Luciano Beretta; musica di Piero Soffici), con gli immortali (?) versi

La somma dei cateti
costruiti su due gambe
è sempre quella dell’ipotenusa
Pitagora, Pitagora
se l’uomo quadrato sei tu
inventami un sistema
il nuovo teorema
per vivere solo d’amor

mentre nella sua opera principe Il mondo come volontà e rappresentazione Arthur Schopenhauer scriveva a proposito della dimostrazione euclidea del teorema

Spesso, come nel caso del teorema di Pitagora, si disegnano delle righe e non sappiamo il perché, e solo in seguito scopriamo che erano una trappola che si chiude all’improvviso e imprigionano il consenso dell’attonito studente.

andando poi a presentare la “sua” dimostrazione… valida solo per il triangolo rettangolo isoscele, e terminando con “ma tanto la si può mettere a posto anche per un triangolo qualunque”. Occhei, un classico esempio di dimostrazione matematica.

Diciamocela tutta, però: Schopenhauer di matematica non ne avrà capita molta, ma aveva ragione da vendere quando diceva che la dimostrazione euclidea del teorema era una Mausefallenbeweise, una “trappola per topi”. Guardate qua a fianco la costruzione che viene richiesta: la figura è tratta dal monumentale saggio di Federico Peiretti che potete trovare sul sito di Polymath. Dal punto di vista di Euclide probabilmente la dimostrazione aveva un senso, visto che si appoggia pesantemente ai teoremi di uguaglianza delle aree dei triangoli e dei rettangoli che aveva da poco dimostrato nei suoi Elementi; per noi il tutto è una complicazione enorme. L’altra possibilità è che Euclide abbia scelto apposta una dimostrazione complicata per far risaltare l’importanza del teorema, anche se personalmente trovo l’ipotesi piuttosto assurda. È comunque indubbio che ci siano centinaia e centinaia di dimostrazioni del teorema: a parte che il teorema era già noto ai babilonesi nel 1850 a.C., per le dimostrazioni si parte addirittura da Platone, che nel suo dialogo Menone fa mostrare a Socrate come facendo le domande giuste anche uno schiavo conosce – maieuticamente – l’enunciato del teorema e si arriva persino a un presidente degli Stati Uniti. No, non George W. Bush, bensì James Garfield, che nel 1876, quando era ancora un semplice deputato, inviò al New England Journal of Education la sua dimostrazione. Nonostante la data di pubblicazione fosse il primo aprile, il suo approccio non è affatto uno scherzo, e ha tra l’altro la particolarità di non disegnare nemmeno un quadrato; la figura fondamentale è un trapezio. Il commentatore della rivista terminò l’articolo con la frase “Pensiamo che su questa cosa i nostri onorevoli possono essere d’accordo senza distinzione di partito”; non so se oggi potremmo dire la stessa cosa da noi.

Quale sia la “migliore” dimostrazione è sicuramente una questione di gusto personale; al momento la mia preferita è mostrata qui a fianco, ed è della serie “dimostrazione senza parole”; è stata trovata per la prima volta negli scritti indiani di Bhāskara, che visse nel dodicesimo secolo. Basta infatti mettere in una o nell’altra posizione quattro copie identiche del nostro triangolo rettangolo, e avanza esattamente lo spazio per il quadrato costruito sull’ipotenusa oppure per i due quadrati costruiti sui cateti. La parte di destra della figura può anche essere utilizzata per ricordarsi uno dei prodotti algebrici notevoli: se i cateti del triangolo sono infatti lunghi a e b, dal disegno si vede che (a+b)² = a² + b² + 2ab.

Per i curiosi, termino con un paio di generalizzazioni del teorema. Innanzitutto non occorre proprio costruire un quadrato sui cateti e sull’ipotenusa: qualunque figura va bene, purché siano tutte e tre simili. Quindi si possono costruire semicerchi, esagoni o anche casette che fanno tanto Monopoli. Inoltre se il triangolo non è rettangolo e l’angolo tra i lati a e b è γ si può applicare il teorema del coseno e dire che c² = a² + b² – 2ab cosγ, dove c è naturalmente il terzo lato del triangolo: formula sicuramente meno elegante, il che fa capire come mai nessun matematico antico abbia pensato di appropriarsene!