La vignetta odierna dei Peanuts vede la povera Piperita Patty alle prese con uno dei tanti problemi scolastici, uno dei tormentoni che Schulz spesso metteva nelle vignette. Ecco il testo:
– “Ci sono sette libri su uno scaffale…”
– “Tre sono libri di matematica e quattro di scienze…”
– “Problema: in quanti modi si possono distribuire i libri sullo scaffale perché i libri di matematica si trovino vicini?”
– EMERGENZA!!! EMERGENZA!!!
Vogliamo aiutarla?
In questi giorni ho letto il libro di Michele Mezza Il contagio dell’algoritmo, un non-instant book sulla pandemia – è uscito lo scorso ottobre, dopo la fine della prima ondata Covid ma prima della seconda e terza – che fa un paragone tra la situazione mondiale per il controllo della pandemia e la situazione mondiale per il controllo dei dati. Per dare un’idea, usa termini come “i calcolanti” e “il regime computazionale”. Se ho compreso bene, la sua tesi è che abbiamo avuto un passaggio alla rovescia: non sono le dinamiche della rete a scimmiottare quelle della vita reale, ma queste ultime stanno mostrando dinamiche tipicamente di rete: ne parlo comunque un po’ più diffusamente sul mio blog.
Ci sono parti del libro, come quella in cui racconta come la pandemia abbia inferto un colpo probabilmente mortale al mestiere del giornalista che già negli ultimi vent’anni era inesorabilmente scivolato verso quello di aggregatore, che mi vedono d’accordo; ci sono altre parti, come quella sui comportamenti dei vari partiti politici nei confronti della pandemia oppure sull’accaparramento dei dati da parte dei grandi Over The Top che hanno messo da parte gli stati nazionali, su cui potremmo proficuamente discutere. Per i curiosi, ho raccolto alcuni spunti che mi sono venuti in mente leggendolo. Ma qui parlo di matematica, e quindi mi limito a trattare un punto su cui non sono invece per nulla d’accordo sulla sua diatriba contro la disumanizzazione e algoritmizzazione della medicina.
Da parecchi anni aprile è il mese della consapevolezza matematica. E da parecchi anni MaddMaths! organizza il Carnevale della matematica di quel mese dando per l’appunto come tema – che di solito non viene seguito – “consapevolezza matematica”. Quest’anno però Roberto Natalini ha deciso di declinarlo in modo diverso e ha proposto di parlare di orgoglio matematico. L’idea mi è sembrata particolamente simpatica, così provo a raccontare che cosa è per me l’orgoglio matematico, con l’ovvia premessa che essere orgogliosi di fare matematica non sminuisce assolutamente null’altro. Non è insomma che matematica sia er mejo e tutto il resto una schifezza, quanto il non doversi vergognare del conoscere la matematica. Inoltre, come sapete, io sono un matematico non praticante: quindi il mio punto di vista è quello di uno che è orgoglioso di avere studiato matematica e di saperne usare un po’.
Come probabilmente sapete, io non sono solamente un matematico (non praticante), ma anche un informatico (sempre non praticante: quando ho mai tempo di fare qualcosa?) Informatico teorico, per la precisione: non che io non sappia programmare, se serve, ma i miei studi sono stati sul versante teorico dell’informatica, che si era stabilizzato nella dozzina di anni precedenti alla mia laurea. Quando ho saputo che il premio Turing 2020 era stato assegnato ad Aho e Ullman, il mio primo pensiero è stato “come? non ce l’avevano già?”
Una battuta che circola negli ambienti scientifici afferma che ogni formula matematica inserita in un libro ne dimezza le vendite. Diciamolo subito: né l’editore Salani né l’autore Guido Corbò ci credono. Nell’ultima sua opera di formule e derivazioni ce ne sono molte; nell’introduzione non solo non lo nega ma lo rivendica.
[…]«queste formule sono semplicissime. Esse richiedono le conoscenze matematiche che si acquisiscono alle scuole medie. Così pure, altrettanto elementari sono le conoscenze di fisica richieste per poter leggere questo libro.»
In effetti può capitare di trovare una pagina con una sfilza di passaggi matematici. Il simbolo più complicato che appare è però quello di radice quadrata, che è praticamente necessario non appena si parla di distanze, perché il teorema di Pitagora spunta sempre. Non preoccupatevi, pertanto: la matematica è solo di supporto, se vi fidate dei passaggi potete andare avanti senza problemi!
La prima e più ampia parte del libro tratta la relatività ristretta. Corbò sceglie il tipo di approccio che io chiamo “assiomatico”. Anziché partire dall’esperimento di Michelson e Morley che dimostrò l’inesistenza dell’etere e quindi di un sistema di coordinate assoluto, preferisce definire due principi assunti come veri: la validità del principio di relatività galileiano e la costanza della velocità della luce nel vuoto. Da questo punto di partenza, per mezzo di una serie di Gedankenexperiment, Corbò ricava innanzitutto le trasformazioni di Lorentz e poi i vari effetti della relatività come la contrazione delle distanze, la dilatazione dei tempi, e la famosissima formula E=mc². Ritengo che la scelta sia vincente. Un testo di divulgazione scientifica nasconde necessariamente sotto il tappeto tutto un insieme di fatti che complicherebbero la comprensione a livello generale del tema, anche se di per sé sono necessari per comprenderlo davvero. L’autore mette in chiaro fin dal principio che tutto il castello della teoria di basa su alcuni assunti che dobbiamo prendere per buoni. In questo modo il lettore può comprendere che lo sviluppo della scienza non avviene cercando di costruire una teoria intorno ai risultati degli esperimenti, ma cercando una cornice coerente e per quanto possibile semplice che porti ai risultati trovati con gli esperimenti. (Oltre naturalmente a prevederne altri che possano essere verificati, come direbbe Popper: anche questo è trattato nel libro).
La seconda parte del libro, sulla relatività generale, è per forza di cose più discorsiva e meno matematica. In fin dei conti, la matematica della relatività ristretta è in effetti alla portata di tutti, e Einstein ha preceduto di poco Poincaré, Lorentz e Minkowski nel completare la formulazione fisica corrispondente. Per la relatività generale anche Einstein si è trovato in difficoltà, finché non ha scoperto i risultati della scuola geometrica italiana che erano quello che gli serviva per definire le niente affatto banali trasformazioni dello spazio-tempo. Anche qua Corbò parte da un assunto di base, l’indistinguibilità tra gravità e accelerazione. In questo caso l’uguaglianza viene suggerita dall’uguaglianza tra la massa inerziale e quella gravitazionale. Insomma, se due modi completamente diversi di calcolare la massa di un oggetto danno sempre lo stesso risultato, non sarà perché i due modi non sono poi così diversi? Qui la parte più importante è a mio parere la spiegazione del perché la relatività ristretta “non funziona”, o più precisamente perché si può avere il paradosso dei gemelli. Non è la differenza di velocità tra chi sta sulla Terra e chi viaggia in astronave che conta, perché nella relatività ristretta le equazioni sono simmetriche, quanto le accelerazioni subite dal cosmonauta. Il libro termina con un’interessante relazione tra le formule della meccanica celeste classica e il raggio di Schwarzschild, il famigerato orizzonte degli eventi di un buco nero. Come capita spesso, un risultato può essere letto in modi diversi a seconda della cornice teorica nella quale viene collocato, e questo ne è un esempio preclaro.
In un paio di punti nella prima sezione Corbò si è dimenticato che non tutti sono fisici. Parlando delle equazioni di Maxwell, scrive del campo elettromagnetico senza dare almeno un’idea di cosa sia; quando segnala che la Terra non è un sistema inerziale, anche se lo si può approssimare come tale, sarebbe stato utile accennare al pendolo di Foucault: non preoccupatevi, lo farà poi nella seconda parte. Fortunatamente queste minuzie non tolgono scorrevolezza al testo e alla successione dei temi. Alla fine della lettura, non garantisco che possiate discettare di relatività con sicumera, ma certamente riuscirete ad accorgervi della sicumera di chi ripete cose senza mai averle capite. Mi pare un ottimo risultato.
Guido Corbò, La luce e il tempo, Salani 2020, pag. 172, €13,90, link Amazon e ibs.it.
Non so se la scorsa settimana avete visto i titoli dei giornali sul crollo dell’aspettativa di vita nel 2020: qui sopra vedete quelli di Repubblica e Corriere. Questi dati, ancora preliminari, sono tratti dal BES 2020, il rapporto annuale sul benessere equo e sostenibile in Italia che trovate sul sito Istat. Tralasciamo il titolo errato del Corriere – il calo da 83,6 a 82 anni non è quello dell’Italia ma del solo Nord, dove la scorsa primavera il Covid ha colpito più duramente – e cerchiamo di capire cosa significa questo numeretto che appare negli articoli: l’aspettativa di vita alla nascita.
Un aggiornamento al mio post sui giardini bonsai. Antonio Bachis mi ha segnalato su Twitter il problema che vedete qui in cima.
Chiunque abbia avuto una nonna che preparasse i barattoli di marmellata sa perfettamente che 60 vasetti sono una quantità assolutamente normale; che per fare la marmellata spenda 37 euro al barattolo mi pare invece piuttosto improbabile. Anche in questo caso insomma abbiamo un problema matematico teoricamente basato sulla vita reale ma che in pratica non lo è, con lo svantaggio aggiuntivo che stavolta si parla di soldi… o forse questo è in realtà un vantaggio, perché c’è qualche speranza in più che lo studente si accorga che forse quei barattoli non sono placcati oro!
Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!
1. Rombododecaedro
No, la formica non potrà fare il suo discorso. Schiacciate in un piano lo scheletro del rombododecaedro, come mostrato nella figura qui sotto, e colorate di bianco i vertici in cui convergono quattro spigoli e in nero quelli in cui ne convergono tre. Come vedete, un qualunque percorso alterna vertici bianchi a vertici neri; però ci sono 6 vertici bianchi e 8 neri, quindi il percorso è impossibile.
2. Lavorare in 3D
Una possibile soluzione si ottiene appiccicando sei cubi a uno centrale, come nella figura qui sotto. che è formata da 30 quadrati uguali.
3. La torta triangolare
A Gino conviene scegliere come punto di partenza per il taglio il baricentro della torta, perché altrimenti Pino potrebbe tagliare una fetta parallela a quella migliore passante per il baricentro e prendere un ulteriore pezzo di torta. A Pino a questo punto conviene fare un taglio parallelo a un lato; altrimenti, come si vede nella figura qui sotto, la parte più scura che viene tolta è minore di quella più chiara aggiunta. Poiché il baricentro è a 2/3 dell’altezza del triangolo, il trapezio inferiore comprende i 5/9 della torta.
4. Divisioni primarie
Nella figura qui sotto vedete l’unica soluzione possibile, a meno di equivalenza topologica.
5. Distanze
Immaginate che la città M sia connessa alle città A, B, C, D… e consideriamo il triangolo MAB. Abbiamo MA<AB e MB<AB, perché altrimenti nel grafo ci sarebbe AB e non uno degli altri due lati. Pertanto, prendendo gli angoli, γ>α e γ>β, da cui sommando l’ovvia uguaglianza γ=γ ricaviamo che 3γ>180° e γ>60°. Visto che questa relazione deve valere per tutti i triangoli costruiti prendendo ordinatamente una coppia di segmenti partenti da M, e visto che non si può superare un angolo giro, il numero massimo di angoli e quindi di segmenti che partono da M è cinque.
Come già successo in passato, i problemi sono tratti dal libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics (numeri 41, 44, 51, 69, 71). Tra una settimana le soluzioni.
1. Rombododecaedro
Una formica si trova su un vertice di un rombododecaedro – un solido semiregolare formato da 12 rombi, come si vede nella figura qui sotto – e vuole fare un percorso attraverso i suoi spigoli in modo da toccare una sola volta tutti i vertici e tornare al punto di partenza: in matematica si parla di ciclo hamiltoniano. Può riuscire nel suo intento?
2. Lavorare in 3D
La superficie di un cubo è formato da sei quadrilateri (per la precisione, quadrati) uguali. È possibile costruire un solido concavo la cui superficie sia formata da un certo numero di quadrilateri tutti uguali tra di loro?
3. La torta triangolare
Gino e Pino devono dividersi una torta a forma di triangolo equilatero. Pino propone di prendersi una fetta che otterrà facendo un unico taglio per dividere la torta, e Gino acconsente, chiedendo però di scegliere lui per quale punto il taglio debba passare. Sapendo che Pino vuole prendersi la maggior parte della torta, quale punto conviene che Gino scelga? Naturalmente potete assumere la torta perfettamente uniforme.
4. Divisioni primarie
Immaginate di avere una pianta del catasto con un appezzamento rettangolare diviso in due parti sempre rettangolari, come nella parte superiore della figura. È ovvio che la divisione è stata fatta in un unico passo. In una divisione in tre parti come quella nella parte inferiore della figura, invece, non è possibile decidere se la divisione è stata fatta in un unico momento, oppure prima è stata fatta la divisione in verticale e in un tempo successivo quella in orizzontale. Chiamiamo divisione primaria quella del primo tipo e divisione secondaria quella del secondo tipo. Naturalmente è sempre possibile avere divisioni secondarie con un numero qualunque di parti; basta fare tante strisce verticali. Non è invece possibile avere divisioni primarie in 3, 4 e 6 parti. Sapete costruirne una in 5 parti?
5. Distanze
Prendete una cartina dell’Italia e disegnate un segmento che unisca ciascuno dei capoluoghi di provincia con quello più vicino. (Supponete che sia sempre possibile stabilire quale sia quello più vicino: non ci siano insomma due città alla stessa distanza). Dimostrate che non è possibile che ci sia una città connessa ad altre sei città.
Al giorno d’oggi è davvero difficile avere un bel giardino!
Nel weekend ho dovuto far fare i compiti di geometria a mio figlio. Dopo essere arrivati faticosamente al termine del problema mostrato qui sopra, gli chiedo se non aveva notato nulla di strano: purtroppo mi ha risposto di no, a parte l’aver dovuto fare un’equivalenza che per lui è una specie di affronto. E voi, che ne pensate?