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Ilaria Capua e la positività ai tamponi

Quando ho visto il tweet qui sopra (c’è sempre la versione su Internet Archive, nel caso venga cancellato in futuro) sono sobbalzato.

Avere un tasso di positività al 12% significa che ogni 100 tamponi fatti, 12 sono stati positivi. Ma questo non significa affatto che “ogni cento persone che vedi in giro 12 sono infette”, a meno naturalmente che i tamponi siano presi in modo statisticamente significativo. Lo sono? Non lo so, ma penso di no. Leggendo il rapporto settimanale qui (“sintesi monitoraggio”), leggo solo che «aumenta la
percentuale dei casi diagnosticati attraverso attività di screening (46% vs 44%)». Però non ho nessuna idea di quanti dei tamponi fatti lo siano per attività di screening e quanti di controllo a persone che rischiano a priori di essere infetti (come quello fortunatamente negativo che ho fatto io mercoledì scorso, quando avevo febbre e mal di stomaco). D’altra parte, se effettivamente ogni cento persone che vedi in giro 12 sono infette, questo significa che un ottavo degli italiani in questo momento è portatore – immagino sano – del virus. Questo a sua volta significherebbe che il virus non è davvero tanto più pericoloso di un’influenza, almeno per chi è vaccinato, e possiamo stare tranquilli… oppure preoccuparci davvero, visto che l’infezione parrebbe ritornare ogni tre mesi scarsi (immaginando un periodo di infezione che dura dieci giorni) oppure che una notevole quantità di persone è oramai infetto cronicamente.

Insomma, quella frase non ha nessun senso. Eppure il tweet dopo più di ventiquattr’ore è ancora lì. Un consiglio a tutti: non informatevi su Twitter.

Grange Academy Mathematics Department Newsletter

La Grange Academy è una scuola secondaria scozzese. Il suo dipartimento di matematica prepara una newsletter matematica settimanale (#mathnewsletter) che è arrivata al numero 600, come vedete nell’immagine qui sopra.

Ok, la milk rota (chi deve assicurarsi che il frigo della sala insegnanti…) non ci è di molta utilità. Ma se insegnate matematica nelle scuole medie e superiori i problemi proposti mi sembrano interessanti, e potrebbero piacervi. Chris Smith (aap03102 chiocciola gmail punto com), la persona che prepara la mailing list, mi ha detto che sarebbe felicissimo di avere nuovi iscritti: se volete, scrivetegli pure!

La regola del tre semplice e del tre composto

Mia figlia Cecilia (seconda media) ha oggi l’ultima verifica dell’anno di aritmetica, che verte tra le altre cose sulla regola del tre semplice e del tre composto. Secondo il mio amico Adam Atkinson, al di fuori dell’Italia non c’è più nessuna persona vivente che conosca la regola del tre, anche se naturalmente si sanno risolvere i problemi dove da noi viene applicata. La sua affermazione forse è un po’ esagerata, ma in effetti c’è una conferma indiretta: la voce di Wikipedia in lingua italiana non ha al momento in cui scrivo nessuna versione in un’altra lingua. Il vero guaio è che però il “metodo alternativo” che è indicato nel suo libro di testo per risolvere i problemi del tre composto e che vedete qui sopra è a mio parere assolutamente incomprensibile. Ma voi ve lo ricordate come si risolvevano i problemi con il tre semplice e il tre composto? Io li so ancora risolvere, ma mi chiedo se il metodo che uso – e che vi mostro qui sotto – sia quello che avevo imparato quasi mezzo secolo fa.

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Matematica e sport: un vero parallelo?

vignetta da https://www.smbc-comics.com/comic/grind

Martedì scorso SMBC ha pubblicato questa vignetta, di cui lascio una rapida traduzione per i diversamente anglofoni.

– Mamma, come hai fatto a diventare brava in matematica?
– Infinite macinazioni orribili e odiose.

– La mia insegnante ha detto che la chiave è la gioia della scoperta.
– Vero.

– Dopo svariati mesi passati da seduti, urlando nella propria testa e sbattendo la testa su una scrivania, qualche volta ti capita di intravedere l’austera bellezza dell’universo. E questo è abbastanza per farti tornare a cercare ancora.

– È un po’ come strisciare su una montagna di vetri perché stai morendo di fame e ci sono delle briciole nascoste tra le schegge.

– Per favore, dimmi solo qualcosa sulla meraviglia.
– Mi meraviglio che negli sport sia normale richiedere allenamenti ripetitivi, ma in qualche modo farlo in matematica è considerato una brutta cosa.

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Il mistero della tapparella che accelera

In questa stagione mi alzo che è ancora buio, e sollevo la tapparella della camera – l’azionamento è elettrico – mentre sono ancora a letto. Come sapete, le tapparelle hanno dei buchetti tra i vari listelli; se mantengo lo sguardo sulla barra di legno a metà della portafinestra, vedo man mano scurirsi e poi ridiventare chiaro l’esterno. Sì, l’inquinamento luminoso è indubbiamente presente. Mi accorgevo però che man mano che la tapparella saliva sembrava che il passaggio chiaro-scuro-chiaro fosse sempre più veloce, anche se poi, una volta passata del tutto la barra, la velocità sembrava tornare a essere costante. È vero che appena sveglio non è che il mio cervello risponda così bene; ma mi ci è voluto un bel po’ di tempo per capire cosa stesse davvero succedendo.

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Risposte ai problemini per Pasqua 2022

Se non siete riusciti a risolvere i problemi della scorsa settimana, finalmente ci sono le soluzioni!

Attenzione alle tossine

Non possiamo riconoscere il tipo di pastiglie, ma possiamo vedere che sono diverse. Prendendo una pastiglia per tipo assumiamo 47 tossine; quindi possiamo prenderne tre per tipo e assumeremo 141 tossine. Abbiamo ancora la possibilità di assumere 38 tossine: con due pastiglie da scatole diverse siamo certi di non superare quel valore. In definitiva dunque possiamo prendere 11 pastiglie, tre da una confezione qualunque e quattro da ciascuna delle altre due.

Uno vale tutti gli altri

La somma dei numeri a 1 a 12 è 78; pertanto la somma dei numeri maggiori di ciascun insieme è 39. Il numero di insiemi possibile deve essere maggiore di 3, perché con tre insiemi la somma dei numeri maggiori è al più 33; ma poiché ogni insieme deve avere almeno tre elementi abbiamo che ci sono esattamente quattro insiemi. A questo punto è abbastanza semplice trovare la partizione adatta: per esempio, {12,9,3}, {11,7,4}, {10,8,2} e {6,5,1}.

Uno oppure dieci

Disponete i numeri da 1 a 60 ordinatamente in una scacchiera 6×10 come mostrato in figura qui sopra. È immediato che se i due numeri differiscono tra di loro di 10 unità saranno su caselle di colore diverso; lo stesso capita se i due numeri differiscono tra l’oro di un’unità, salvo nel caso in cui il primo numero termina per 0 e il secondo per 1. Poiché la coppia (10, 11) usa due caselle bianche, occorre che ci sia una coppia che usi due caselle nere. Poiché però 20 e 30 sono già stati usati, l’unica possibilità è che 40 e 41 siano accoppiati, e quindi il numero che fa coppia con 41 è 40. Resta da dimostrare che in effetti si possano creare le coppie: nella figura qui sotto è mostrata una possibile ripartizione.

Baci e abbracci

Per simmetria possiamo immaginare che le ragazze siano almeno quanto i ragazzi. Visto che tutto abbracciano almeno due persone, i casi possibili sono avere quattro ragazze e due ragazzi oppure tre ragazze e tre ragazzi. Nel primo caso però i due ragazzi devono avere abbracciato tre ragazze per un totale di sei abbracci, mentre le quattro ragazze hanno ciascuna abbracciato due ragazzi per un totale di otto abbracci, il che è assurdo. Pertanto ci sono tre ragazze e tre ragazzi. Consideriamo ora le due persone che ne hanno abbracciate altre tre; se fossero entrambe dello stesso sesso, ciascuna di loro avrebbe abbracciato tre persone dell’altro sesso. Ma la terza persona del sesso delle prime due non avrebbe potuto abbracciare nessuno, il che non è ammesso. Pertanto le due persone che ne hanno abbracciate tre sono di sesso diverso, e visto che ciascuna di esse non può abbracciare più di due delle altre persone, si devono abbracciare tra loro.
Per completare la risposta, occorre verificare che effettivamente si possa trovare una configurazione di abbracci. Se le ragazze sono A,B,C e i ragazzi sono X,Y,Z, una possibile configurazione è data dagli abbracci (A,X), (A,Y), (A,Z), (B,X), (B,Y), (C,X), (C,Z). A e X hanno abbracciato tre persone, mentre B, C, Y e Z ne hanno abbracciate due.

Furto di crostate

Poiché il numero di crostate è primo, nessuno dei due Fanti neri può essere stato il primo a entrare in cu cina; e poiché ne rubano solo una parte, non possono essere nemmeno stati l’ultimo. Supponiamo che il primo a entrare sia stato il Fante di Quadri: ha lasciato un numero dispari di crostate, che quindi deve essere stato un multiplo di tre. Non può essere 3 (il Fante di Picche ne lascerebbe una, e devono ancora entrare due Fanti) e nemmeno 9 (il Fante di Picche ne lascerebbe tre, e il fante di Fiori non potrebbe rubarne nessuna). Pertanto il primo a entrare è stato il Fante di Cuori, che ha lasciato un numero di crostate multiplo di 3 o di 4.
Se il Fante di Cuori avesse rubato 9 crostate, ne sarebbero rimaste 4; il Fante di Fiori ne avrebbe rubata una, il Fante di Picche due e ne sarebbe rimasta una per il Fante di Quadri, impossibile. Se il Fante di Cuori ne avesse rubato 7, ne sarebbero rimaste 6; il Fante di Picche ne avrebbe rubato 4 lasciandone due, impossibile. Se il Fante di Cuori avesse rubato una sola crostata, ne rimarrebbero 12. Se il secondo fosse stato il Fante di Fiori, ne avrebbe preso 3; il Fante di Picche ne avrebbe preso 6 lasciandone 3 per il Fante di Quadri, impossibile. Se invece il secondo fosse stato il Fante di Picche, ne avrebbe prese 8 lasciandone 4 per il Fante di Fiorni, impossibile. Se infine il Fante di Cuori ne avesse rubato 5, ne sarebbero rimaste 8; il Fante di Fiori ne avrebbe rubate 2 lasciandone 6, il Fante di Picche ne avrebbe rubate 4 lasciandone 2, che sarebbero state rubate dal fante di Cuori. Questa è dunque l’unica soluzione possibile, ed è stato il Fante di Cuori ad aver rubato più crostate.

[PILLOLE] lavorare sulle frazioni

Ho trovato questo tweet di Miss Konstantine e mi è piaciuto così tanto da tradurlo e presentarvelo. Sarà che i miei gemelli hanno fatto da poco le frazioni e le proporzioni, ma trovo carina l’idea di dare un punto di partenza – la frase in rosso al centro della figura – e una serie di affermazioni che possono essere vere o false (partendo dall’ipotesi che a e b siano interi positivi). In questo modo gli studenti sono costretti ad accendere il cervello e andare alla caccia di controesempi, oppure trovare un po’ di esempi che confermano l’ipotesi e sfruttarli per cercare una dimostrazione. Che ne pensate?

Pi greco in piese

Oggi è il giorno del pi greco, essendo (in notazione americana) il 3.14. Per festeggiarlo, vi lascio un brano dal mio libro Chiamatemi pi greco, appena uscito per Dedalo: una storia in centoun parole di pi greco.

Tre. E poco d’altro. Certamente il numero “greco” con cifre infinite, calcolate creando algoritmi, non si può ottenere come valore “qu diviso erre” con due naturali. Non lo seppero calcolare Egizi, Babilonesi. La frazione migliore sarà d’Archimede. Passano i secoli. Mandarini, poi sanscriti computano. Era moderna, Viète è disinvolto: cerca radicali, li moltiplica ottenendo formula poco operativa però vera. Somme alternate? Le usò lietamente Madhava. Dobbiamo a Machin come processare rapidi le funzioni volute. Ah: portentose funzioni ricostruì Ramanujan, dettegli (asserì) da Namagiri. Finalmente dei maxi computer ci fanno ora aver pi, e i computi accumulano record davvero mostruosi!

Cosa c’è di particolare in questa prosa, non esattamente da Nobel per la letteratura? Semplice: il numero di lettere di ciascuna parola corrisponde alla cifra decimale di pi greco. “Tre” = 3; “E” = 1; “poco” = 4; “d'” = 1; “altro” = 5; eccetera. Quando nello sviluppo decimale di pi greco c’è una cifra 0 ho usato una parola di dieci lettere. Questo vincolo sui testi ha un nome: “piese”; il vincolo ulteriore di parlare proprio di pi greco è servito per rendere un po’ più difficile il gioco…

Come semplificare un problema matematico

Sto leggendo The puzzler’s dilemma. Tra i problemi che Derrick Niederman presenta che n’è uno tratto dalla William Lowell Putnam Examination del 1978:

Scegliete 20 numeri dall’insieme {1, 4, 7, … 97, 100}. Mostrate che ce ne devono essere due distinti la cui somma è 104.

Niederman passa a raccontare come risolvere il problema: se volete provarci da soli, smettete di leggere e prendete carta e penna. Sappiate però che secondo Niederman chi ha preparato il problema, in un raro momento di generosità, ha lasciato un numero in più nell’insieme: anche se ne scegliamo solo 19 è sempre possibile trovarne due distinti la cui somma è 104. Il punto è che secondo me la sua dimostrazione si può semplificare, pur rimanendo con la stessa struttura, e penso che possa essere interessante vedere come si può trattare un problema del genere.

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Chiamatemi pi greco: un estratto

Domani, 24 febbraio, sarà pubblicato il mio nuovo libro, Chiamatemi pi greco, per i tipi di Dedalo. Nel seguito potete leggere alcune pagine del capitolo 6, “L’Europa ricomincia a fare matematica”, con un protagonista che probabilmente non avreste mai associato al pi greco…

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