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Uno dei blog di .mau.

Come vincere alle elezioni

Come forse sapete, Kenneth Arrow ha dimostrato il teorema che ora porta il suo nome e afferma che è impossibile avere un sistema di voto “perfetto”, nel senso che soddisfi quello che tutti noi pensiamo debba avere un voto democratico. Il guaio è che non appena ci sono più di due candidati c’è un conflitto intrinseco tra la scelta del migliore e quella del “meno peggiore”. In Italia ce ne siamo accorti sin troppo bene in questi ultimi vent’anni, dove abbiamo avuto un bipolarismo imperfetto che era più legato al “tutti contro uno” che al “troviamo qualcosa in comune”. Ma ci sono casi molto peggiori: facendo le cose per bene – si fa per dire – è possibile sovvertire la volontà popolare in maniera del tutto legale. Tutto questo ha un nome: gerrymandering.

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 02/12/2014 Uncategorized , ,

Axis [Pillole]

Alessandro Pagiaro mi ha segnalato una battaglia navale molto peculiare: Axis. Ci sono due giocatori, ciascuno con due navi, in un ambiente dove ci sono anche alcuni ostacoli: invece che indicare un quadretto – sarebbe inutile, visto che si conoscono le posizioni dell’avversario – bisogna scrivere una formula matematica per lanciare il proprio proiettile e cercare di far fuori il nemico.
Purtroppo il gioco manca di una parte di allenamento da soli, e la necessità di essere in due per giocare fa sì che magari uno deve aspettare un po’ prima di fare una partita; ma ci si può divertire! (Non io, perdo sempre)

 09/12/2014 Uncategorized ,

Problemini per Natale 2014

Questa volta i problemi sono tratti dal vecchio libro Mathematical Puzzles for the Connoisseur di P.M.H. Kendall e G.M. Thomas. Come al solito, a fine anno avrete le soluzioni :-)

1 – Usura
Immaginate di avere due treni che facciano un percorso lungo l’equatore – per evitare scontri, diciamo che uno sta un metro sopra l’equatore e l’altro un metro sotto. I due treni sono identici e si muovono alla stessa velocità. Quale sarà il treno che consumerà prima le proprie ruote?

2 – Angoli
Come si vede nella figura qui sotto a sinistra, è facile ottenere quattro angoli retti usando quattro fiammiferi. Immaginando che i fiammiferi siano di spessore nullo, è anche abbastanza facile ottenere sedici angoli retti con una figura a forma di cancelletto – hash per gli anglofoni twitteristi. Ma siete capaci a ottenere dodici angoli retti con solo tre fiammiferi? Non è ammesso piegarli o spezzarli.

[quattro e sedici angoli]

3 – Assonometria
Qualcuno si ricorda ancora dell’assonometria cavaliera? Un oggetto, visto dall’alto (cioè proiettato sul piano x-y e da un lato (proiettato sul piano x-z), appare come le due viste nel disegno qui sotto. Come potrebbe essere la terza vista, quella proiettata sul piano y-z?

[assonometria]

4 – Città
In una lontana nazione ci sono sei città, qui denominate con le lettere da A a F, con una strana caratteristica. Sono tutte su un quadrante di cerchio che ha come diametro AF, e le distanze in linea d’aria delle città B, C, D, E da A e da F sono un numero intero di chilometri, così come la distanza tra A e F. Inoltre queste sono le più piccole distanze (non nulle…) possibili con questa caratteristica. Qual è la distanza tra A ed F? (Il disegno non è in scala, non vale usare un righello)

[città]

5 – Cruciformula

Trovate i valori di a, b e c perché le formule date come definizioni risolvano questo “cruciverba coi numeri” (che cruciverba non può essere, ma non sottilizziamo). Alcune formule sono ridondanti, ve lo dico subito.
[crucinumeri]

Orizzontali:
1.   ab2c − bc − c
5.   bc/2
6.   bc+1
7.   b2−bc
9.   b-2
10.   4b3−2

Verticali:
1.   3ab2
2.   c3
3.   (b2+c)/2
4.   b(4b2−1)
8.   a(2b−1)
9.   b−1

 25/12/2014 Uncategorized

Risposte ai problemini di Natale 2014

Ecco le risposte ai problemi di Natale!

1 – Usura
Il treno che viaggia in direzione opposta alla rotazione terrestre consumerà le ruote prima, perché avrà una spinta centrifuga minore.

2 – Angoli
Il trucco è passare in tre dimensioni e mettere i tre fiammiferi ortogonali tra loro, come nella figura qui sotto.

[fiammiferi 3d]

3 – Assonometria
Due possibili soluzioni (nella seconda la parte tratteggiata è interna) sono mostrate qui sotto.

[assonometria]

4 – Città
Il problema è equivalente a trovare quattro coppie di numeri la somma dei cui quadrati sia un quadrato perfetto. La soluzione è la seguente: 652 = 632+162 = 562+332 =602+252
= 522+392.

5 – Cruciformula
La soluzione è a=3, b=12, c=4. Ecco lo schema risolto:
dic2014-cruci2

 31/12/2014 Uncategorized

il computer che vince a poker [Pillole]

Siamo ormai abituati a vedere un computer che batte gli esseri umani a scacchi, anche se per il go ci vorrà ancora molto tempo prima di vedere un grande giocatore non umano. In giochi dove la fortuna gioca un ruolo non secondario, come il backgammon, i computer hanno raggiunto capacità ottimali ancora prima. Ma l’annuncio di Nature – che cita un articolo apparso su Science – è molto importante. Per la prima volta, infatti, un computer è in grado di essere essenzialmente imbattibile in un gioco “reale” come il poker nella versione Texas hold ’em (per la precisione, una versione semplificata, ma comunque giocata effettivamente).

Oggettivamente non so quanto l’affermazione dei ricercatori, secondo cui il programma è “essenzialmente imbattibile a lungo termine”, sia una trovata pubblicitaria oppure no: chiaramente nella singola partita c’è una componente di fortuna che non può essere prevista a priori, ed è difficile stimare effettivamente il risultato teorico in una serie di partite. Per il resto, non mi stupiscono tanto le descrizioni ad alto livello, con il “counterfactual regret algorithm” (l’algoritmo che riguarda a posteriori le scelte fatte, dando loro un peso negativo nel caso siano state perdenti) e l’essere in grado di bluffare. Mi pare però strano che un algoritmo di quelli che impara sia stato in grado di diventare un campione con solo 1500 partite, considerando che – sempre secondo gli autori – l’albero complessivo del gioco avrebbe più di trecento milioni di miliardi di stati e che la base dati da loro usata è di “soli” 212 terabyte (ma con ingegnose tecniche di compressione sono scesi alla quisquilia di 11 terabyte aumentando il tempo di elaborazione di un mero 5%). Il tutto sarà un ballon d’essai per i veri scopi di un programma simile, vale a dire il gioco in borsa che presenta molte somiglianze? Vedremo.

 09/01/2015 Uncategorized , , ,

Il dilemma del viaggiatore

Un paio di settimane fa, sul mio social network preferito (Friendfeed) c’è stata un’interessante discussione su un apparente paradosso nella teoria dei giochi: il Dilemma del viaggiatore. Il problema è stato proposto nel 1994 dall’economista indiano Kaushik Basu, e nella sua rappresentazione dematematizzata vede due passeggeri di un aereo a cui è stata perduta una valigia. Curiosamente le due valigie avevano esattamente lo stesso contenuto: il guaio è che la compagnia aerea non sa quale sia il valore, e deve dunque chiederlo ai proprietari A e B. Per evitare che costoro facciano la cresta, i due vengono messi in stanze separate e viene loro chiesto di indicare il valore del contenuto, in una forchetta da 100 a 300 euro (i valori espliciti sono usati per comodità, ma non sono importanti). A questo punto la compagnia stabilisce che il valore reale dei bagagli sia il minore dei due: ma c’è un’ulteriore clausola. Se i valori indicati non sono identici, toglierà una quota (la “multa”) a chi ha indicato la cifra maggiore per darla all’altro. Facciamo un esempio pratico. Immaginiamo che la multa sia di 20 euro, A ha scritto 100 euro e B 150. A riceverà allora 100+20 euro, e B 100−20 euro.

Che dice la teoria dei giochi al riguardo?

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 21/01/2015 Uncategorized , , ,

Questione di prospettiva [Pillole]

[ah, le parallele] Non mi interesso di calcio, ma questo tweet dall’account ufficiale dell’AC Milan ha un interesse anche matematico. Le due righe bianche (quella di centrocampo e quella disegnata dal software per verificare un presunto fuorigioco) sono indubbiamente oblique… per l’ottima ragione che l’immagine è prospettica, e quindi c’è un punto di fuga.

È presumibile che il Milan intendesse affermare che l’immagine – che è stata prodotta dalla Juventus, che da quanto ho capito ha un controllo quasi totale sul proprio stadio – fosse stata taroccata modificando l’angolazione della retta e aumentandola rispetto all’obliquità “diritta”; ma se si guardano le varie righe di taglio dell’erba è abbastanza facile notare che convergono tutte verso lo stesso punto. (Grazie a Peppe Liberti per questa immagine)

Morale? Studiare un po’ di matematica aiuta sempre :-)

 08/02/2015 Uncategorized , ,

Dimostrazioni a conoscenza zero

Il biglietto da visita dice semplicemente “L’uomo che sa contare gli spilli”. Il proprietario del biglietto è un omino che afferma che se gli presentate un qualunque contenitore pieno di spilli, fossero una scatoletta o un tir, lui è in grado con una sola occhiata di dire quanti ce ne sono. Come possiamo fidarci che il tipo non ci stia prendendo in giro, senza metterci a contare tutti gli spilli?

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 10/02/2015 Uncategorized

inflazione linguistica [Pillole]

Steven Schwartzman, nel suo The Words of Mathematics, afferma che la radice indoeuropea yer- ha il significato di “anno”, e si è conservata nell’inglese “year”. In greco antico, però, si era trasformata in ‘ωρα (spero di averla traslitterata giusta) dal significato di “stagione”; i latini la presero in prestito e usarono hora per indicare, beh, un’ora. Visto come il tempo vola?

 24/02/2015 Uncategorized ,

Chi non si vaccina fa ammalare anche te

La scorsa settimana avrete forse letto sui giornali che all’ospedale pediatrico romano Bambino Gesù sono arrivati tre neonati, tra i due e i cinque mesi di vita, che hanno contratto la meningite. La cosa più preoccupante è che le infezioni legate a quello specifico batterio sembravano debellate: l’ultimo caso segnalato era infatti del 2012. Di per sé il vaccino contro l’Haemophilus influenzae fa parte del vaccino esavalente, che anche se non è obbligatorio è fortemente consigliato: ma come sapete in questi anni il movimento antivaccini ha preso sempre più piede – non solo in Italia: quest’anno il numero di casi di morbillo negli USA è esploso – e casi come questo potranno diventare sempre più comuni. Non credo che sia possibile fare un ragionamento razionale con persone che rifiutano di accettare la notizia che lo studio pubblicato su Lancet e che correlava le vaccinazioni con l’autismo era un falso; ma con la matematica possiamo capire qualcosa in più sui guai della mancata vaccinazione per tutti, e non semplicemente per chi non viene vaccinato.

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 03/03/2015 Uncategorized , , ,