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Dal latinorum al maticsipsilon

Lo scorso dicembre l’Huffington Post ha riportato alcune affermazioni fatte da Piergiorgio Odifreddi in una trasmissione radiofonica. Tra quanto da lui detto nell’intervista c’è la frase che ha dato il titolo al post: «Se i politici sono eletti dagli elettori e se il 90% degli elettori è stupido come diceva Umberto Eco, anche il 90% dei politici sarà stupido». Riuscite a vedere la fallacia logica nel ragionamento?

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Risposte ai quizzini di Natale 2018

I problemi arrivavano dalla Olimpiada Matemática Española (anni 1995 e 1996)

1. Non essere ottusi
Se n è il più piccolo intero dell’insieme e m il più grande, abbiamo che mn+99. Perché il triangolo isoscele di lati n, n, m (il più ottuso possibile) non sia ottusangolo occorre che m² ≤ 2n². Per avere i triangoli minori possibili, m = n+99, che unito all’altra disequazione dà (n + 99)² ≤ 2n² da cui si ricava n ≥ 99(1+√2), cioè n ≥ 240.
Pertanto l’insieme I minimale sarà composto dagli elementi {240, 241, 242, …., 339}. I triangoli possibili sono 100³ = 1000000; i lati totali saranno 3000000, 30000 per ciascuna delle lunghezze possibili; la somma totale dei perimetri sarà pertanto 30000(240+241+242+…+339)=868.500.000.

2. Un primo di mezzo
Dall’equazione abbiamo p|xy. Poiché l’equazione è simmetrica in x e y, possiamo supporre p|x e quindi scrivere x=ap. L’equazione diventa così
p(ap+y)=payy = pa/(a−1)

Poiché a e a−1 sono primi tra loro, bisogna che a−1|p, e quindi a−1 = ±1 oppure a−1 = ±p. I quattro casi danno rispettivamente

i) a−1 = −1 ⇒ a = 0 ⇒ x = 0, y = 0
ii) a−1 = 1 ⇒ a = 2 ⇒ x = 2p, y = 2p
iii) a−1 = −pa = p+1 ⇒ x = p(p+1), y = p+1
iv) a−1 = pa = 1−px = p(1−p), = y = p−1
I casi iii) e iv) danno infine le soluzioni simmetriche x = p+1, y = p(p+1) e x = p−1, y = p(1−p)

3. Massimo comun divisore
Espandendo la somma abbiamo (a²+b²+a+b)/ab. Essendo d il mcd di a e b, per definizione ab è un multiplo di d², come anche a² e b². Ma perché quell’espressione sia intera occorrerà che a+b sia un multiplo di d², quindi maggiore o uguale a d², da cui segue immediatamente la tesi.

4. Baricentro
Siano A’, B’, C’ i punti medi dei lati opposti rispettivamente agli angoli A, B, C. Poiché il baricentro divide le mediane in proporzione di 1 a 2, possiamo scrivere la condizione del problema come
2AC’ + 2C’G = 2AB’ + 2B’G
il che significa che i punti C’ e B’ si trovano su un’ellisse di fuochi A e G, come mostrato in figura.
Consideriamo ora il punto medio M del segmento B’C’. Esso si trova sull’asse maggiore dell’ellisse e non può esserne il centro perché la sua distanza da A è il doppio di quella da G; quindi B’C’ è perpendicolare ad AA’, quest’ultimo segmento è pertanto sia altezza che mediana e dunque il triangolo è isoscele in A.

5. Spioni
Iniziamo col definire “neutrali” due agenti A e B tali che A non spia B e B non spia A. Se chiamiamo gli agenti A1, A2, …, A16 possiamo definire i seguenti numeri per ogni agente Ai:
ai è il numero di agenti che spiano Ai;
bi è il numero di agenti che Ai spia;
ci è il numero di agenti neutrali rispetto ad Ai.

È immediato che per ogni i abbiamo che ai + bi + ci = 15, perché abbiamo considerato tutti i possibili agenti. Un po’ meno immediato è notare che ai + ci ≤ 8 e bi + ci ≤ 8, sempre per ogni i. Se non fosse così, infatti, potremmo prendere i nove elementi e Ai, e sarebbe impossibile formare la catena. Combinando queste relazioni otteniamo che ci ≤ 1; pertanto ciascun agente ha al più un collega neutrale. Inoltre, poiché l’essere neutrali è una proprietà riflessiva (se A è neutrale rispetto B allora B è neutrale rispetto ad A), eventuali spie neutrali possono essere accoppiate sapendo che nessuna di esse può avere altre spie neutrali.

Immaginiamo ora che esista un gruppo di 11 spie per cui non si possa creare una catena. Poiché 11 è dispari, ci deve essere necessariamente almeno un agente S che non è neutrale rispetto a nessuno degli altri dieci. Togliamo momentaneamente S, e formiamo la catena con i rimanenti agenti C1, C2, C3, …, C10 dove ciascuno spia l’agente col numero seguente e C10 spia C1. Per le disuguaglianze iniziali sappiamo che S deve spiare almeno uno dei Ci ed essere spiato da almeno un altro Ci. Se facciamo il giro dei Ci arriveremo dunque a un punto in cui l’agente precedente spia S e quello seguente è spiato da S; basta pertanto inserire S tra questi due agenti e ottenere la catena richiesta.

Quizzini per Natale 2018

Che Natale sarebbe senza i quizzini del Post? Le risposte tra una settimana. Gli ultimi due sono più difficili, magari poi posterò un aiutino 😉

1. Non essere ottusi

Considerate tutti gli insiemi I di cento numeri interi positivi distinti con la seguente proprietà: dati tre qualunque elementi a, b e c in I, il triangolo di lati a, b, c non è mai ottusangolo. Se S(I) è la somma dei perimetri di tutti i possibili triangoli diversi formati da tre elementi (non necessriamente distinti) di I, qual è il suo valore minimo?
(Se gli elementi di I fossero {100, 101, … 199} un triangolo di lati 100, 100, 100 è da contare, così come uno di lati 100, 100, 101)

2. Un primo di mezzo
Sia p un numero primo. Trovate le soluzioni (relative a p) intere (positive, negative o nulle) dell’equazione p(x+y)=xy. (Ricordo che 1 non è un numero primo, e tantomeno lo è 0)

3. Massimo comun divisore
I numeri naturali a e b sono tali per cui ((a+1)/b)+((b+1)/a) è intero. Se d è il massimo comun divisore tra a e b, dimostrate che d ≤ √(a+b).

4. Baricentro
Sia G il baricentro del triangolo ABC. Dimostrate che se AB + GC = AC + GB allora il triangolo è isoscele.

5. Spioni
Nell’isola di Spiolandia ci sono 16 agenti segreti. Ciascuno di essi spia almeno uno dei suoi colleghi; se poi un agente A spia un agente B, allora l’agente B non spia l’agente A. Inoltre dato un qualunque insieme di dieci agenti A1, A2, A3, …, A10, è possibile ordinarli in una catena in modo che il primo spii il secondo, il secondo il terzo, e così via, fino al decimo che spia il primo. Dimostrate che allora esiste una catena simile anche con 11 agenti qualunque.

Enrico Vaime e la “sua” matematica

La scorsa settimana la piccola comunità matematica in rete ha discusso ampiamente a proposito dell’editoriale di Enrico Vaime per la sua trasmissione Black Out. Su Maddmaths! potete leggere la trascrizione del testo di Vaime(o sentire direttamente il podcast), olte alla risposta ironica di Sandra Lucente e quella più legata alla didattica di Pietro Di Martino: aggiungo anch’io qualche parola dal punto di vista di un semplice appassionato.

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Ah, la discalculia!

ah, la discalculia!

Rubo l’immagine dalla coppia Morabito-Seminerio per fare qualche considerazione sulle capacità del titolista, in questo caso del Corriere della Sera (ah, la parte finale del titolo è stata eliminata, ora recita solo «Discalculia, i ragazzi con difficoltà in matematica raddoppiano»). A parte le battute banali, abbiamo due errori matematici che sono molto comuni, e per cui quindi vale la pena di spendere un paio di parole in più.

Siamo tutti d’accordo che passare da 33.257 a 62.877 significa quasi raddoppiare, e direi che possiamo accettare la semplificazione spannometrica “raddoppiati”. Da dove arriva il +50%, allora? La mia ipotesi è che qualcuno abbia fatto il conto alla rovescia. Se da 100 si passa a 200, abbiamo raddoppiato il numero iniziale: però passando da 200 a 100 siamo scesi solo del 50%. Se uno non è bravo in matematica, può pensare che il 50% funzioni in entrambe le direzioni, come succederebbe se sommassimo anziché moltiplicare: ma questo non è il caso, come vi siete certo accorti. Attenzione che casi come questo sono molto comuni! Se io aumento un prezzo di un prodotto del 20% e poi ti faccio uno sconto del 20% non vado in pareggio ma in perdita. Di nuovo, qualche conto ci può aiutare: da 100 si passa a 120, e il 20% di 120 è 24, che tolti da 120 ci portano a 96.

Non so in quanti abbiano notato il secondo errore: dal 2014 al 2017 gli anni sono tre e non quattro. Questo invece potrebbe essere il risultato di un fencepost error, errore della staccionata. Questo tipo di errore capita spesso con i bambini piccoli che non sanno fare le sottrazioni ma contano ancora con le dita. Per arrivare da 2014 a 2017 si conta 2014, 2015, 2016 e 2017: i numeri sono quattro, perché contiamo anche quello di partenza che sarebbe invece il valore “zero” e quindi non si conta. L’errore si chiama così perché per fare una staccionata lunga 10 metri distanziando i pali di un metro ce ne vogliono 11 e non 10: in questo caso il punto zero serve eccome!

Il teorema matematico di 4chan

Roberto Zanasi mi mi ha segnalato questo articolo di Massimo Sandal pubblicato su Vice, a proposito di un risultato matematico che è stato “pubblicato” su 4chan, un forum di discussione per gli appassionati di manga e anime, che a quanto pare dà parecchi pensieri a chi vuole citarla ufficialmente in qualche articolo matematico “serio”: non tanto perché il thread con il risultato è sparito come lacrime al vento – in rete non si perde praticamente mai nulla, esistono copie del thread originale – ma perché sarebbe qualcosa di sminuente per la matematica. È proprio così? Vediamo qual è la storia.

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Un’immagine confonde più di mille parole

Reddito di inclusione (da La Stampa?)
L’infografica che vedete qui a fianco dovrebbe essere stata pubblicata sulla Stampa di oggi, almeno secondo la didascalia. Dal sito trovo solo un articolo al riguardo, articolo che tra l’altro è scritto in maniera corretta e comprensibile… insomma non ce l’ho con la Stampa ma con chi ha fatto questa infografica, chiunque sia. Altra premessa: non ne sto facendo un caso politico (questi sono i beneficiari del Rei, il reddito di inclusione voluto dal governo Gentiloni) ma puramente matematico.

Vi siete accorti cosa c’è che non funziona? Le percentuali indicate non corrispondono alla parte della popolazione delle singole regioni che beneficia del Rei, ma alla percentuale sul totale dei beneficiari. Inserire quei numeri è non solo inutile – basta vedere i valori assoluti, che per definizione sono proporzionali a quelle percentuali – ma anche fuorviante. Dalla cartina sembrerebbe che per esempio i calabresi non sono messi così male, avendo “la stessa percentuale dei lombardi”: peccato che questi ultimi siano cinque volte di più, e quindi la vera percentuale dei beneficiari è un quinto del totale.

Il problema è che le infografiche nascono per dare un’idea al volo di un insieme di dati senza costringere la gente a vederli tutti e trattarli; ma se l’infografica è sbagliata il lettore – pardon, il guardante – si fa l’impressione errata, mentre se avesse letto l’articolo avrebbe correttamente saputo che la Calabria è la terza regione che usufruisce del Rei, dopo Sicilia e Campania. Non penso che l’errore sia dovuto a malizia, il che però da un certo punto di vista lo rende ancora più pericoloso: nessuno infatti controlla quello che si sta facendo.

Quando i polli di Trilussa non sono quelli giusti

Ieri Bruno Ventavoli, il responsabile di Tuttolibri, ha scritto un accorato appello sulle pagine della Stampa: «Cari editori, stampate meno libri». Ventavoli ha umoristicamente raccontato del grande problema dell’editoria in Italia: si stampano troppi libri (in proporzione al numero di libri letti dagli italiani), ogni uscita trova sempre meno spazio nelle librerie fisiche e viene presto scacciata, e non c’è nemmeno lo spazio per recensire tutti i bei libri che pure sono prodotti: gli uffici stampa degli editori pressano con sempre maggiore insistenza per avere un posticino.

Diciamo che mi sono fischiate parecchio le orecchie: sia in qualità di scrittore (sulla qualità dei miei libri ovviamente non posso spergiurare) che per il tentativo di ottenere lo strapuntino di cui sopra. Diciamo che ci ho messo due anni e sono dovuto arrivare al secondo libro per Codice, oltre che passare da Tuttolibri a Tuttoscienze, per vederli raccontati da me medesimo sulle pagine della Stampa. Ma non è di questo che volevo parlare, quanto di una frase più spiccatamente matematica che si trova nel testo: «Se come dice la statistica la vendita media per titolo è di 160 copie, i polli di Trilussa insegnano che il 90% degli scriventi riesce a piazzare meno di cinque copie (ciò significa che neppure i parenti più stretti, l’amante miciosa, l’ex compagno di banco alle medie, fanno lo sforzo di acquistarlo).» Quando vedo dei numeri il mio cervello parte a fare stime spannometriche (i cosiddetti problemi di Fermi), e quel numero non mi tornava molto.

Recensione: Masha Gessen, Perfect Rigor

Come si può scrivere un libro che racconti una scoperta matematica che ha impegnato la comunità per più di un secolo e la cui dimostrazione è così complicata da avere richiesto un anno e mezzo non per produrla, ma banalmente per verificarne la correttezza? Come si può scrivere una biografia su una persona che vive da recluso e si rifiuta di incontrare o anche solo parlare con nessuno? Non ci sono molte possibilità. Masha Gessen, in Perfect Rigor (appena tradotto per i tipi di Carbonio Editore) ha scelto una strada peculiare. Pur avendo una formazione matematica di base, ha infatti scelto di mettere in secondo piano l’aspetto scientifico vero e proprio, relegato in poche pagine verso il termine dell’opera, per porre l’accento sull’ambiente accademico matematico e sulla discriminazione degli studenti ebrei nell’Unione Sovietica. Grigorij “Griša” Perel’man è in un certo senso lo specchio attraverso il quale si snodano vicende molto più generali.

Il titolo del libro deriva da una frase del grande matematico francese Henri Poincaré nel suo libro di iflosofia della scienza La scienza e l’ipotesi: “Se l’oggetto di studio rimane confinato all’immaginazione, da dove proviene il perfetto rigore che nessuno penserebbe mai di porre in dubbio?” Poincaré si sta riferendo a una secolare diatriba: se cioè tutta la matematica, con le sue cristalline dimostrazioni formali, non sia semplicemente un modo per dire A = A oppure c’è qualcosa in più, e gli oggetti matematici non sono solo frutto dell’immaginazione dei matematici oppure hanno una connessione con il mondo reale. In un certo senso, la congettura di Poincaré dimostrata da Perel’man rientra in questa seconda categoria: con una cruda approssimazione, possiamo dire che il nostro mondo tridimensionale non può avere una forma “strana” se visto all’interno di uno spazio quadridimensionale, ma è proprio come ce lo aspettiamo intuitivamente. Ma il vero rigore è quello della vita di Perel’man. Gessen tratteggia il matematico come una specie di Forrest Gump, con la differenza che Griša solo estremamente intelligente: la sua ipotesi è che il suo comportamento sociale indichi che sia affetto dalla sindrome di Asperger, che come noto a differenza di altre varianti dell’autismo è spesso associato a un quoziente intellettivo molto alto.

Perel’man è una macchina per risolvere problemi, forse spinto in questo dall’ambizione di sua madre che aveva scelto di non proseguire la carriera matematica per metter su famiglia o magari perché il mondo della matematica ha un suo insieme di regole ben precise che non ammettono eccezioni e sono pertanto relativamente semplici da mettere in pratica: potremmo dire che tali regole hanno una rappresentazione molto compatta che richiede pertanto meno spazio di memoria per gestirle. In tutto questo Perel’man pare non accorgersi affatto dei problemi che la sua condizione di ebreo dal cognome inconfondibile gli pone nell’ambiente sovietico. Formalmente non esisteva alcuna discriminazione, ma all’atto pratico gli ebrei erano tenuti il più possibile lontano dalle università più importanti come quelle di Mosca e Leningrado, nelle quali la politica di ammissione – anche in una facoltà come quella di matematica che non sembrava proprio dare chissà quali problemi di fedeltà alla linea ufficiale comunista – si riassumeva in “potranno essere ammessi solo due studenti ebrei l’anno”. La matematica Tanya Khovanova ha raccontato di come esistesse una lista di “problemi speciali”, che erano praticamente impossibili da risolvere senza conoscere il trucco che li avrebbe resi banali – pronti per tarpare sul nascere le speranze degli studenti dal cognome sbagliato: se li trovavano di fronte e fallivano miseramente. Perel’man ebbe però la fortuna e la bravura di seguire la scuola di matematica di Sergej Rukšin (anch’egli di origine ebraica, tra l’altro) e vincere le Olimpiadi internazionali di matematica, il che permetteva di essere automaticamente ammesso a un’università di propria scelta, riuscendo così a evitare questo destino.

Gessen calca molto la mano sulle regole che Perel’man si dava per affrontare i problemi di matematica e il mondo intorno a lui. Non è chiaro quanto tali regole esistano veramente nella sua mente: leggendo quanto ha fatto negli anni della sua formazione come matematico, la mia sensazione è che lui abbia semplicemente scelto una strada che poi gli sia sfuggita di mano. Indubbiamente la sua mente è in grado di cogliere in un colpo solo tutti gli aspetti di un problema; ma la scelta di dedicarsi alla geometria sembrerebbe più legata al minor numero di colleghi con cui aveva a che fare, e il progressivo allontanarsi anche da quelli con cui aveva punti di contatto si direbbe legata a un concetto utilitarista, perché nessuno di loro poteva essergli più di aiuto. Resta il mistero del perché Perel’man si sia allontanato dalla matematica: non è comunque il primo, poiché Alexander Grothendieck l’aveva preceduto in un isolamento totale. Tra l’altro anche Grothendieck era di origine russa ed ebraica, il suo campo di studi era la geometria, e aveva vinto la medaglia Fields… magari sono tutte coincidenze. Ma è anche opportuno seguire l’altro tema portato avanti da Gessen, vale a dire la descrizione degli ambienti accademici russo e americano, diversissimi tra loro ma entrambi alieni per chi vuole fare solo matematica e non sottostare a regole forse ancora più bizzarre di quelle che Griša sceglieva per sé. È vero che parecchi matematici hanno perso mesi della loro carriera per rimpolpare le dimostrazioni di Perel’man e assicurarsi della loro correttezza, il tutto senza alcun tornaconto se non l’avanzamento della matematica. Però stiamo sempre parlando di esseri umani, con tutti i loro difetti; l’invidia e il tentativo di prendersi meriti non propri sono sempre possibili. Spesso si pensa che i matematici siano esenti da tali difetti: ci induce in errore la visione dei risultati, anche solo quelli che vediamo a scuola, che sono sempre precisi e senza macchie. Non è così, e il testo ce lo mostra molto chiaramente.

In definitiva, questo libro dà una visione per così dire umanista della matematica, cosa di cui abbiamo tantissimo bisogno; non ci renderà certo esperti della materia, ma d’altra parte non ce ne faremmo molto. Se leggiamo un libro di viaggio non siamo interessati alle tariffe autostradali, no? Sono utili se volessimo fare quel viaggio, ma non ci darebbero alcuna sensazione. Perfect rigor racconta un viaggio, non un teorema. Un appunto sulla traduzione di Olimpia Ellero: è scorrevole, ma in un paio di punti farà sobbalzare chi ha conoscenze di matematica.

u, da, h, uk, dak, hk

Ho visto per la prima volta questa successione nel mio social network di nicchia preferito, e mi ci è voluto un po’ di tempo per capire cosa significasse. Ora però mi sono trovato “uk” nel libro dei compiti per le vacanze dei miei gemelli, e insomma non posso più far finta di niente: devo afferrare il toro per le corna. La sigla uk non ha nulla a che fare con il Regno Unito, ma indica molto più prosaicamente le unità di migliaia, così come hk non è Hong Kong ma le centinaia di migliaia e dak le decine di migliaia. L’ultima arrivata tra le stupide vessazioni a cui sono sottoposti i nostri poveri bambini.

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