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un matematto

Come confondere un matematico

Su Twitter, James Propp ha scritto un thread su come confondere un matematico, soprattutto se esperto di teoria dei giochi, dandogli da risolvere un facile problema: il gioco della tavoletta di cioccolato. Si parte con appunto una tavoletta di cioccolato (che possiamo modellare come un rettangolo m×n) e due giocatori. Il primo giocatore spezza la tavoletta su una riga o colonna a piacere, ottenendo due tavolette più piccole: i due giocatori a turno prendono uno dei pezzi rimasti (tranne i singoli quadratini, per ovvie ragioni) e lo spezza in due parti. Chi non trova più pezzi da spezzare ha perso.

Propp fa poi notare al malcapitato che se uno dei due lati della tavoletta ha un numero pari di quadretti allora il primo giocatore ha una strategia vincente: alla sua prima mossa divide la tavoletta a metà. A questo punto si limita a “copiare” le mosse dell’altro, lasciando sempre una configurazione simmetrica: è ovvio che avrà sempre una mossa a disposizione dopo quella dell’avversario. Arriva dunque la domanda fatale: e se entrambi i lati della tavoletta hanno un numero dispari di quadretti?

Una tavoletta da dividere (da FreeSVG)

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Vogliamo aiutare Piperita Patty?

libri La vignetta odierna dei Peanuts vede la povera Piperita Patty alle prese con uno dei tanti problemi scolastici, uno dei tormentoni che Schulz spesso metteva nelle vignette. Ecco il testo:
– “Ci sono sette libri su uno scaffale…”
– “Tre sono libri di matematica e quattro di scienze…”
– “Problema: in quanti modi si possono distribuire i libri sullo scaffale perché i libri di matematica si trovino vicini?”
– EMERGENZA!!! EMERGENZA!!!
Vogliamo aiutarla?

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Coronavirus, big data e medicina

In questi giorni ho letto il libro di Michele Mezza Il contagio dell’algoritmo, un non-instant book sulla pandemia – è uscito lo scorso ottobre, dopo la fine della prima ondata Covid ma prima della seconda e terza – che fa un paragone tra la situazione mondiale per il controllo della pandemia e la situazione mondiale per il controllo dei dati. Per dare un’idea, usa termini come “i calcolanti” e “il regime computazionale”. Se ho compreso bene, la sua tesi è che abbiamo avuto un passaggio alla rovescia: non sono le dinamiche della rete a scimmiottare quelle della vita reale, ma queste ultime stanno mostrando dinamiche tipicamente di rete: ne parlo comunque un po’ più diffusamente sul mio blog.

Ci sono parti del libro, come quella in cui racconta come la pandemia abbia inferto un colpo probabilmente mortale al mestiere del giornalista che già negli ultimi vent’anni era inesorabilmente scivolato verso quello di aggregatore, che mi vedono d’accordo; ci sono altre parti, come quella sui comportamenti dei vari partiti politici nei confronti della pandemia oppure sull’accaparramento dei dati da parte dei grandi Over The Top che hanno messo da parte gli stati nazionali, su cui potremmo proficuamente discutere. Per i curiosi, ho raccolto alcuni spunti che mi sono venuti in mente leggendolo. Ma qui parlo di matematica, e quindi mi limito a trattare un punto su cui non sono invece per nulla d’accordo sulla sua diatriba contro la disumanizzazione e algoritmizzazione della medicina.

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Risposte ai problemini per Pasqua 2021

Ed ecco le risposte ai problemini della scorsa settimana!

1. Rombododecaedro

No, la formica non potrà fare il suo discorso. Schiacciate in un piano lo scheletro del rombododecaedro, come mostrato nella figura qui sotto, e colorate di bianco i vertici in cui convergono quattro spigoli e in nero quelli in cui ne convergono tre. Come vedete, un qualunque percorso alterna vertici bianchi a vertici neri; però ci sono 6 vertici bianchi e 8 neri, quindi il percorso è impossibile.


2. Lavorare in 3D

Una possibile soluzione si ottiene appiccicando sei cubi a uno centrale, come nella figura qui sotto. che è formata da 30 quadrati uguali.

soluzione

3. La torta triangolare

A Gino conviene scegliere come punto di partenza per il taglio il baricentro della torta, perché altrimenti Pino potrebbe tagliare una fetta parallela a quella migliore passante per il baricentro e prendere un ulteriore pezzo di torta. A Pino a questo punto conviene fare un taglio parallelo a un lato; altrimenti, come si vede nella figura qui sotto, la parte più scura che viene tolta è minore di quella più chiara aggiunta. Poiché il baricentro è a 2/3 dell’altezza del triangolo, il trapezio inferiore comprende i 5/9 della torta.

un taglio non dritto

4. Divisioni primarie

Nella figura qui sotto vedete l’unica soluzione possibile, a meno di equivalenza topologica.

divisione primaria in cinque parti

5. Distanze

Immaginate che la città M sia connessa alle città A, B, C, D… e consideriamo il triangolo MAB. Abbiamo MA<AB e MB<AB, perché altrimenti nel grafo ci sarebbe AB e non uno degli altri due lati. Pertanto, prendendo gli angoli, γ>α e γ>β, da cui sommando l’ovvia uguaglianza γ=γ ricaviamo che 3γ>180° e γ>60°. Visto che questa relazione deve valere per tutti i triangoli costruiti prendendo ordinatamente una coppia di segmenti partenti da M, e visto che non si può superare un angolo giro, il numero massimo di angoli e quindi di segmenti che partono da M è cinque.
dimostrazione

Orgoglio matematico

Da parecchi anni aprile è il mese della consapevolezza matematica. E da parecchi anni MaddMaths! organizza il Carnevale della matematica di quel mese dando per l’appunto come tema – che di solito non viene seguito – “consapevolezza matematica”. Quest’anno però Roberto Natalini ha deciso di declinarlo in modo diverso e ha proposto di parlare di orgoglio matematico. L’idea mi è sembrata particolamente simpatica, così provo a raccontare che cosa è per me l’orgoglio matematico, con l’ovvia premessa che essere orgogliosi di fare matematica non sminuisce assolutamente null’altro. Non è insomma che matematica sia er mejo e tutto il resto una schifezza, quanto il non doversi vergognare del conoscere la matematica. Inoltre, come sapete, io sono un matematico non praticante: quindi il mio punto di vista è quello di uno che è orgoglioso di avere studiato matematica e di saperne usare un po’.

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Problemini per Pasqua 2021

Come già successo in passato, i problemi sono tratti dal libro di Hugo Steinhaus One Hundred Problems in Elementary Mathematics (numeri 41, 44, 51, 69, 71). Tra una settimana le soluzioni.

1. Rombododecaedro

Una formica si trova su un vertice di un rombododecaedro – un solido semiregolare formato da 12 rombi, come si vede nella figura qui sotto – e vuole fare un percorso attraverso i suoi spigoli in modo da toccare una sola volta tutti i vertici e tornare al punto di partenza: in matematica si parla di ciclo hamiltoniano. Può riuscire nel suo intento?

2. Lavorare in 3D

La superficie di un cubo è formato da sei quadrilateri (per la precisione, quadrati) uguali. È possibile costruire un solido concavo la cui superficie sia formata da un certo numero di quadrilateri tutti uguali tra di loro?

cubo cavo

3. La torta triangolare

Gino e Pino devono dividersi una torta a forma di triangolo equilatero. Pino propone di prendersi una fetta che otterrà facendo un unico taglio per dividere la torta, e Gino acconsente, chiedendo però di scegliere lui per quale punto il taglio debba passare. Sapendo che Pino vuole prendersi la maggior parte della torta, quale punto conviene che Gino scelga? Naturalmente potete assumere la torta perfettamente uniforme.


Il triangolo no...

4. Divisioni primarie

Immaginate di avere una pianta del catasto con un appezzamento rettangolare diviso in due parti sempre rettangolari, come nella parte superiore della figura. È ovvio che la divisione è stata fatta in un unico passo. In una divisione in tre parti come quella nella parte inferiore della figura, invece, non è possibile decidere se la divisione è stata fatta in un unico momento, oppure prima è stata fatta la divisione in verticale e in un tempo successivo quella in orizzontale. Chiamiamo divisione primaria quella del primo tipo e divisione secondaria quella del secondo tipo. Naturalmente è sempre possibile avere divisioni secondarie con un numero qualunque di parti; basta fare tante strisce verticali. Non è invece possibile avere divisioni primarie in 3, 4 e 6 parti. Sapete costruirne una in 5 parti?


partizioni

5. Distanze

Prendete una cartina dell’Italia e disegnate un segmento che unisca ciascuno dei capoluoghi di provincia con quello più vicino. (Supponete che sia sempre possibile stabilire quale sia quello più vicino: non ci siano insomma due città alla stessa distanza). Dimostrate che non è possibile che ci sia una città connessa ad altre sei città.


Italia

Il premio Turing 2020 a Aho e Ullman

Come probabilmente sapete, io non sono solamente un matematico (non praticante), ma anche un informatico (sempre non praticante: quando ho mai tempo di fare qualcosa?) Informatico teorico, per la precisione: non che io non sappia programmare, se serve, ma i miei studi sono stati sul versante teorico dell’informatica, che si era stabilizzato nella dozzina di anni precedenti alla mia laurea. Quando ho saputo che il premio Turing 2020 era stato assegnato ad Aho e Ullman, il mio primo pensiero è stato “come? non ce l’avevano già?”

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Il crollo dell’aspettativa di vita


Non so se la scorsa settimana avete visto i titoli dei giornali sul crollo dell’aspettativa di vita nel 2020: qui sopra vedete quelli di Repubblica e Corriere. Questi dati, ancora preliminari, sono tratti dal BES 2020, il rapporto annuale sul benessere equo e sostenibile in Italia che trovate sul sito Istat. Tralasciamo il titolo errato del Corriere – il calo da 83,6 a 82 anni non è quello dell’Italia ma del solo Nord, dove la scorsa primavera il Covid ha colpito più duramente – e cerchiamo di capire cosa significa questo numeretto che appare negli articoli: l’aspettativa di vita alla nascita.

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[PILLOLE] Ancora sui problemi matematici improbabili

Un aggiornamento al mio post sui giardini bonsai. Antonio Bachis mi ha segnalato su Twitter il problema che vedete qui in cima.

Chiunque abbia avuto una nonna che preparasse i barattoli di marmellata sa perfettamente che 60 vasetti sono una quantità assolutamente normale; che per fare la marmellata spenda 37 euro al barattolo mi pare invece piuttosto improbabile. Anche in questo caso insomma abbiamo un problema matematico teoricamente basato sulla vita reale ma che in pratica non lo è, con lo svantaggio aggiuntivo che stavolta si parla di soldi… o forse questo è in realtà un vantaggio, perché c’è qualche speranza in più che lo studente si accorga che forse quei barattoli non sono placcati oro!