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un matematto

Gallera ci ritenta con i numeri

A Giulio Gallera indubbiamente piace snocciolare i numeri. Se ricordate, lo scorso maggio si era lanciato in un’ardita metafora per spiegare il significato del tasso di contagio Rt sceso a 0,51. Stavolta si dedica al numero di vaccinazioni in Lombardia, dopo le critiche perché la campagna non è iniziata subito («Non potevamo mica richiamare dalle ferie gli operatori sanitari!»), e ci riassicura: «Si prevede una capacità di somministrazione iniziale fino a un massimo di 10.000 dosi al giorno, che potrà essere successivamente incrementata fino a 15.000».

Facciamo un po’ di conti spannometrici. 15.000 vaccinazioni per 365 giorni – compresi Pasqua, Ferragosto e Natale, e immaginando generosamente che fin da subito si facciano 15000 vaccinazioni – fanno circa 5.500.000 vaccinazioni totali: poiché a ogni persona occorrono due dosi si arriva a 2.750.000 vaccinati. I lombardi sono 10 milioni, e per avere un’immunità di gregge si stima che occorre che sia immunizzata una percentuale tra il 60 e l’80% della popolazione, cioè tra 6 e 8 milioni: risultato che con questi ritmi si otterrà alla fine del 2022, aggiungendo anche tutti quelli che si saranno ammalati (e saranno guariti…) prima della somministrazione del vaccino e sperando che gli anticorpi restino funzionali per tutto questo tempo.

Attenzione. Io non entro nelle discussioni di quante dosi di vaccino ci saranno effettivamente a disposizione, né su quale sia la strategia migliore, che potrebbe per esempio essere quella di far fare le vaccinazioni anche ad altri soggetti perché la capacità della sanità pubblica lombarda non può ragionevolmente superare il valore da lui indicato. Dico semplicemente che se sei così convinto che dare dei numeri sia una strategia che dimostra quanto tu sei sul pezzo, magari prendere una calcolatrice e verificare se quei numeri hanno senso aiuta molto. Ma mi sa che sto sparando sulla Croce Rossa, cosa che eviterei per non rischiare una scarsità ancora maggiore di vaccinatori…

Risposte ai problemini per Natale 2020

Ed eccoci qua con le risposte ai problemini. Alcuni erano facili, altri proprio no…

1. Generiamo il 2021

Ecco le soluzioni:
2021 = 12×(3×4 + 5 + 6)×7 + 89
2021 = (9×8 + 7 + 6)×5×4 + 321

Tratto da Math Stackexchange

3. Il potere del 7

L’ultima cifra di a2021 è 7. Per trovarla, basta calcolare l’ultima cifra di ogni potenza: ma visto che l’ultima cifra di una quinta potenza è uguale all’ultima cifra del numero, in pratica basta guardare al cubo. Il cubo di 7 è 343, quindi l’ultima cifra di a2 è 3; il cubo di 3 è 27, quindi l’ultima cifra di a3 è 7. Le ultime cifre si alterneranno tra 3 e 7, e al passo 2021 avremo appunto un 7.

Tratto da Judita Cofman, What to Solve? OUP 1990, pag. 23

4. Né somme né differenze

Definiamo [k] la classe dei resti di k modulo 2021. Il mio insieme contiene un numero da ciascuna delle classi [0], [1], [2], … [1009], [1010]. Per costruzione, né la somma né la differenza di due di questi numeri è divisibile per 2021. Se ora prendiamo un altro numero qualunque, o è nella stessa classe di uno di quelli già presenti, e allora la loro differenza è divisibile per 2021; o è in una classe diversa, e allora ci sarà un elemento che sommato ad esso darà un numero multiplo di 2021. Quindi il mio insieme ha 1011 elementi.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.7

5. Cinque, sette, due

Sia n il numero iniziale, e m=5n quello finale. Chiaramente m termina per 5. Ora i casi sono due: o comincia per 7 o per 2. Calcoliamo ora m/5, cioè n. Se la prima cifra di m è 7, quella di n sarà 1 con resto di 2; da lì in poi ogni volta che c’è un 7 avremo un risultato 5 con resto di 2, mentre quando c’è un 2 avremo un risultato 4 con resto di 2. Infine il 5 finale darà un 5. In totale, pertanto, avremo 1 + 1009·5 + 1010·4 + 5 = 9091. Se invece la prima cifra di m è 2, all’inizio avremo comunque uno zero; poi il conto rimane lo stesso. Avremo pertanto 1010·5 + 1009·4 + 5 = 9091. In ogni caso la somma delle cifre di n è 9091.

Tratto da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, Scienza Express 2019, problema 6.12

Problemini per Natale 2020

Nonostante il 2020, siamo comunque arrivati a Natale! Ecco i classici cinque problemini, basati quest’anno sul numero 2021. Per San Silvestro avrete anche le soluzioni, anche se non potrete usarle nel veglione…

1. Generiamo il 2021

Siete capaci di ottenere 2021 usando le cifre da 1 a 9 in ordine crescente e in ordine decrescente usando solo somma, moltiplicazione, elevazione a potenza e concatenazione di cifre? Per esempio, 2017 = 12³+ 4×56 + 7×8 + 9 = 98 + 7×6 + 54×3 + 2×1.


questa operazione non funziona

2. Le cifre dei quadrati

Quanti sono i numeri interi da 1 a 2021 per i quali la somma delle cifre del loro quadrato è esattamente 21?


tanti quadrati

3. Il potere del 7

Cominciate con il numero a1 = 7, e costruite la successione an := an−17. Qual è la cifra meno significativa di a2021?


settima potenza

4. Né somme né differenze

Ho costruito un insieme di numeri interi in cui è impossibile trovarne due o la cui somma o la cui differenza sia divisibile per 2021, ma che non può essere ampliato mantenendo tale caratteristica. Quanto è grande il mio insieme?


la somma è 2021

5. Cinque, sette, due

Ho preso un numero intero e l’ho moltiplicato per 5. Il risultato è un numero di 2021 cifre, che ha un “5”, 1010 “7” e 1010 “2”. Qual è la somma delle cifre del numero di partenza?


il risultato

Recensione: La funzione del mondo

copertina Quando Roberto Natalini mi ha detto di avere scoperto che in Italia praticamente nessuno sa chi sia stato Vito Volterra sono rimasto basito. È vero che io gioco in casa, con la mia laurea in matematica: ma per me il nome di Volterra è legato a tantissime cose, culminate con l’essere stato uno dei dodici professori universitari (su più di milleduecento…) che nel 1931 rifiutò di prestare giuramento al regime fascista. Probabilmente è stata proprio la damnatio memoriae voluta da Mussolini che ha contribuito alla rimozione del suo nome, almeno in Italia visto che all’estero è ancora oggi ben noto.

Ben venga dunque questo fumetto – pardon, graphic novel… – pubblicato nell’ottantesimo anniversario della morte di Volterra da Feltrinelli Comics in coedizione con il CNR. Eh sì, perché tra le tantissime attività di Volterra c’è anche stata la spinta alla creazione del Consiglio Nazionale delle Ricerche, di cui è stato anche il primo presidente prima di essere defenestrato per far posto a Guglielmo Marconi. Non credo sia un caso che il sottotitolo del libro sia Una storia di Vito Volterra, proprio perché di storie di Volterra se ne potrebbero scrivere tante, e Alessandro Bilotta ne ha scelta una ben specifica, mostrando quello che forse è il filo conduttore della sua vita: non restare chiuso in un orticello per quanto florido, ma cercare di capire il mondo come sistema emergente, maggiore della somma delle sue parti. È emblematica la frase da lui pronunciata: «E non può più funzionare che i matematici non capiscano i fisici e i fisici non capiscano i chimici.»

per Pisa...

Ecco così che si può capire meglio la logica dei suoi lavori. Pur essendo in vari casi matematica apparentemente astratta – nel libro fortunatamente non si parla della teoria delle equazioni integro-differenziali – non erano mai fini a sé stessi, ma arrivavano sempre dalla considerazione di sistemi del mondo reale, per cui si poteva e si doveva trovare un modello matematico. Ma la stessa matematica non è qualcosa di statico. La “funzione del mondo” del titolo è una funzione in senso matematico, ma più precisamente una funzione che varia non sui numeri ma sulle funzioni: ciò che oggi chiamiamo funzionale. Lo stesso avviene con il suo studio dei modelli preda-predatore, nato dall’osservazione che anche se durante la prima guerra mondiale la pesca nell’Adriatico era stata forzosamente ridotta ciò non aveva portato a una crescita del numero di pesci, ma a strane fluttuazioni. Questo studio fa entrare ufficialmente la matematica nella biologia, ma soprattutto mostra ancora una volta come i modelli ben fatti siano di stimolo per creare nuova matematica “utile”, anche se molti matematici puri storceranno il naso. Ah: Volterra, nonostante avesse 55 anni e fosse senatore del Regno, si arruolò volontario per dare una mano allo sforzo bellico. Non esattamente l’immagine tipica di un matematico.

Gli acquerelli di Dario Grillotti non solo aggiungono piacere alla lettura, ma danno un’incredibile sensazione di realismo. Vi faccio solo un esempio personale. Nel capitolo 3, quando il giovane Volterra viene invitato a cena da Betti, i due passeggiano per Pisa. In effetti la prima vignetta mostra un pezzo della scalinata del palazzo della Carovana, ma non me ne ero accorto subito, preso dalla storia: non il massimo, per uno che ci ha passato quattro anni della propria gioventù. Ma quando sono arrivato alla vignetta mostrata qui sopra ho esclamato “ma siamo in piazza delle Vettovaglie!” Bene, provateci voi a mettere nello stesso libro immagini chiaramente oniriche come quella di Volterra e il futuro genero D’Ancona immersi nel mare a guardare pesci che mangiano altri pesci, e immagini così precise che permettono di rievocare ricordi di quasi quarant’anni fa! L’ultima tavola, con la foto di famiglia del vecchio patriarca, mi ha fatto poi venire una lacrimuccia, pensando all’ostracismo che l’aveva colpito.

Natalini, insieme ad Andrea Plazzi (il gatto e la volpe… anzi la volpe e il gatto) è stato coinvolto come consulente scientifico: potete insomma essere certi che il fumetto, oltre a essere davvero bello, è anche accurato. Il multiforme Natalini ha anche scritto una breve biografia di Volterra in appendice al libro, che è presentato dall’attuale presidente CNR Massimo Inguscio. Insomma, è l’occasione adatta per cominciare a ricordarsi di un’eccellenza italiana ingiustamente lasciata da parte.

(Alessandro Bilotta e Dario Grillotti, La funzione del mondo : Una storia di Vito Volterra, Feltrinelli Comics e CNR Edizioni 2020, pag. 112, euro 16, ISBN 9788807550676)

Recensione: Pietro Greco, Homo

“Le due culture”. La locuzione è ormai entrata nell’immaginario collettivo, almeno tra chi ha una “cultura scientifica” – qualunque cosa ciò voglia dire. Il breve saggio eponimo scritto da Charles Percy Snow nel 1959 ha definitivamente messo nero su bianco il tema dell’incomunicabilità tra scienziati e letterati; il mondo della ricerca scientifica e quello degli studi umanistici si erano irrimediabilmente divisi, e in questi decenni la frattura si è ancora allargata. Eppure Pietro Greco in questo suo ponderoso saggio osa presentare una visione completamente diversa. Secondo lui gli esseri umani sono stati da sempre sia artisti che scienziati; e quando dice “da sempre” lo intende in senso più che letterale, addirittura da quando i primi appartenenti al genere Homo – ecco il perché del titolo di questo libro – sono apparsi sul nostro pianeta. Insomma, questa capacità di unire i due mondi non è nemmeno una prerogativa di Homo sapiens sapiens!

Dopo questa prima parte, dal titolo Evoluzione, si passa a una sezione storica, intitolata Fusione, dove Greco mostra come in passato arte e scienza abbiano quasi sempre proceduto di pari passo. Ho trovato illuminante il capitolo sui Galilei. Non c’è solo Galileo, che pure viene ritratto anche come un bravo disegnatore e soprattutto interessato a fare in modo che le sue scoperte non fossero solo raccontate ai filosofi naturali ma potessero giungere davvero a tutti. Ma c’è anche, e forse direi soprattutto, il padre Vincenzio. Io lo conoscevo come musicista; ma nell’appassionata storia della sua vita Greco mostra come dopo un’iniziale adesione alle teorie ancora aristoteliche del veneziano Gioseffo Zarlino egli virò decisamente, cercando di capire come mai la pratica dei liutai fosse diversa dalla teoria e fu così costretto a passare dall’arte alla scienza per avere dei fondamenti validi. Ecco dunque che possiamo capire come mai Galileo abbia creato il metodo scientifico moderno: non era un improvviso colpo di genio, ma la logica continuazione degli studi, teorici e pratici, che aveva fatto con suo padre. A chi fa notare che stiamo parlando di avvenimenti di quattro secoli fa, Greco risponde con un’analogia a prima vista impossibile: quella tra la nascita della relatività generale e del cubismo, più o meno contemporanee. Einstein e Picasso non si conoscevano né direttamente né indirettamente, ma probabilmente avevano delle letture in comune; lo zeitgeist ha portato i due, ciascuno secondo le regole del proprio campo, a cercare un nuovo modo di rappresentazione. Certo, la relatività ha avuto molto più successo del cubismo; restano però queste convergenze parallele che si sono manifestate.

Ma anche la letteratura trova ispirazione dalla scienza, come raccontato nella terza parte che ha appunto il titolo Ispirazione. Le scoperte di Galileo trovano eco fino a Milton e al suo Paradiso Perduto, ma già Dante si definisce esplicitamente un mediatore, che porta alla gente le scoperte degli scienziati in quello che ritiene il modo migliore, cioè la poesia. Non parliamo poi delle altre arti. Non solo fotografia e televisione sono partite dalla tecnologia e sono poi diventate arti a pieno titolo, ma la stessa pittura per esempio ha dovuto ripensarsi da capo proprio a causa di questi ingombranti concorrenti che l’ha costretta a rivedere i propri assiomi e cercare di trattare l’immagine come lo fa il cervello. Se una persona non tiene le sue mani alla stessa distanza da noi, la fotografia rispecchia la differenza di dimensioni, ma noi le “vediamo” grandi uguali perché sappiamo che sono fatte così.

La parte che però mi è piaciuta di più è l’ultima, la Riflessione, dove Greco riprende l’ormai vieta metafora della società della conoscenza e la rovescia completamente, mostrando come davvero la conoscenza è più della somma delle parti costitutive, e che magari solo in modo carsico questa considerazione è sempre stata fatta dagli artisti prima ancora che dagli scienziati che purtroppo sono spesso riduzionisti. Riallacciandosi al titolo del libro, l’uomo è stato ed è arte e scienza allo stesso tempo; gli alti lai sulle due culture sono insomma esagerati, e questa è una fortuna.

L’unica pecca che ho trovato nel libro – tra l’altro impreziosito da una serie di tavole a colori che mostrano in pratica quello di cui si sta parlando – è una certa ridondanza. Greco è un giornalista scientifico radiofonico, quindi di un mezzo nel quale è opportuno ripetere spesso il concetto che si sta trattando per aiutare l’ascoltatore che magari si era distratto un attimo. In un testo scritto probabilmente si può fare a meno di alcune ripetizioni, lasciando al fruitore il compito di riprendere un passo che alla prima lettura non era stato appreso pienamente. Ma sono convinto che sia gli scienziati che gli umanisti troveranno la lettura davvero stimolante; finalmente magari riusciranno ad ammettere che i punti di contatto sono maggiori di quanto si crede.

(Pietro Greco, Homo : Arte e scienza, Di Renzo 2020, pag. 402, € 18, ISBN 9788883235412)

Non usate a sproposito la legge di Benford


D’accordo, Donald Trump ha un modo molto personale di vedere le cose. Ma ci sono molte altre persone che sono convinte che ci siano in effetti stati dei brogli, e per dimostrarlo usano la matematica. In questo post su StackExchange vengono mostrati due esempi di come ci sia qualcosa di strano, in entrambi i casi usando la legge di Benford. (Ne avevo parlato sul Post anni orsono; sennò trovate anche qualcosa sul mio sito).

Per chi non avesse voglia di spulciare i miei vecchi documenti, la legge di Benford afferma che prendendo una quantità sufficientemente grande di valori, dal numero di abitanti delle municipalità alla quantità di metalli estratti nelle varie nazioni, la prima cifra di questi valori non avrà una distribuzione più o meno costante, ma la cifra iniziale 1 capiterà all’incirca il 30% dei casi, la cifra 2 nel 17,6% dei casi e via via a scalare fino al 9 che apparirà nel 4,6% dei casi. C’è anche una legge di Benford sulla seconda cifra, anche se lì le differenze sono minori.

Nel post suindicato venivano mostrate le distribuzioni della prima cifra dei voti a Biden e a Trump a Chicago, che danno i risultati mostrati qui a sinistra; più in basso vedete invece la frequenza della seconda cifra in una specifica contea. In entrambi i casi è anche indicata la frequenza che ci si aspetterebbe secondo la legge di Benford. I brogli sono evidenti, nevvero? Non è possibile che in un caso ci siano così tanti scostamenti e nell’altro no!

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Smettetela di adorare i numeri (e due)

Mentre sto scrivendo non è ancora chiaro chi sarà il prossimo presidente statunitense, anche se probabilmente Donald Trump ce la farà a essere rieletto. Ma anche se Joe Biden acciuffasse all’ultimo minuto la vittoria, resta un fatto: perché i sondaggi davano una vittoria per i democratici che variava da “molto probabile” a “con una valanga di voti”, e questo non è capitato, anzi probabilmente lo scarto tra previsioni e dati reali è ancora superiore a quello di quattro anni fa? Allora si poteva pensare a qualche fattore che non era stato considerato, ma stavolta non c’è più la scusa della sorpresa… Cosa c’era di sbagliato nei numeri che ci hanno sparato fino a ieri?

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Non prendete sempre alla lettera i numeri

[i confronti sembrano facili, ma...] Ieri mi è capitato di vedere su varie bacheche Facebook l’immagine qui in alto a sinistra, che fa un raffronto con i dati di giovedì scorso sulla diffusione in Italia del Covid-19 raffrontati con quelli del 23 marzo, cioè nella fase ascendente della prima ondata della pandemia. (Per la cronaca, non mi ero salvato l’immagine e ho dovuto chiedere aiuto ai miei amici di frenf.it. È bello avere amici sempre sul pezzo). Non so chi sia l’autore originale; so però che tutti quelli che l’hanno riproposta vogliono mostrare come non ci sia poi così tanto da preoccuparsi dal numero di casi positivi riscontrati; rispetto a marzo, oltre ad avere quasi decuplicato il numero di tamponi effettuati, i pazienti in terapia intensiva sono poco più di un decimo, e i ricoverati meno di un quinto. lo dice anche il Giornale

La loro logica conclusione è che non ha senso ricominciare con il lockdown o anche solo con l’obbligo della mascherina, perché la situazione è tranquillamente gestibile. E come vedete nell’immagine di destra, anche alcuni quotidiani italiani hanno lo stesso approccio. L’immagine è presa dal Giornale e trovata grazie a Emiliano Rubbi Ma possiamo davvero restare relativamente tranquilli?

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Recensione: La luce e il tempo

Una battuta che circola negli ambienti scientifici afferma che ogni formula matematica inserita in un libro ne dimezza le vendite. Diciamolo subito: né l’editore Salani né l’autore Guido Corbò ci credono. Nell’ultima sua opera di formule e derivazioni ce ne sono molte; nell’introduzione non solo non lo nega ma lo rivendica. «

[…] queste formule sono semplicissime. Esse richiedono le conoscenze matematiche che si acquisiscono alle scuole medie. Così pure, altrettanto elementari sono le conoscenze di fisica richieste per poter leggere questo libro.»

In effetti può capitare di trovare una pagina con una sfilza di passaggi matematici. Il simbolo più complicato che appare è però quello di radice quadrata, che è praticamente necessario non appena si parla di distanze, perché il teorema di Pitagora spunta sempre. Non preoccupatevi, pertanto: la matematica è solo di supporto, se vi fidate dei passaggi potete andare avanti senza problemi!


La prima e più ampia parte del libro tratta la relatività ristretta. Corbò sceglie il tipo di approccio che io chiamo “assiomatico”. Anziché partire dall’esperimento di Michelson e Morley che dimostrò l’inesistenza dell’etere e quindi di un sistema di coordinate assoluto, preferisce definire due principi assunti come veri: la validità del principio di relatività galileiano e la costanza della velocità della luce nel vuoto. Da questo punto di partenza, per mezzo di una serie di Gedankenexperiment, Corbò ricava innanzitutto le trasformazioni di Lorentz e poi i vari effetti della relatività come la contrazione delle distanze, la dilatazione dei tempi, e la famosissima formula E=mc². Ritengo che la scelta sia vincente. Un testo di divulgazione scientifica nasconde necessariamente sotto il tappeto tutto un insieme di fatti che complicherebbero la comprensione a livello generale del tema, anche se di per sé sono necessari per comprenderlo davvero. L’autore mette in chiaro fin dal principio che tutto il castello della teoria di basa su alcuni assunti che dobbiamo prendere per buoni. In questo modo il lettore può comprendere che lo sviluppo della scienza non avviene cercando di costruire una teoria intorno ai risultati degli esperimenti, ma cercando una cornice coerente e per quanto possibile semplice che porti ai risultati trovati con gli esperimenti. (Oltre naturalmente a prevederne altri che possano essere verificati, come direbbe Popper: anche questo è trattato nel libro).

La seconda parte del libro, sulla relatività generale, è per forza di cose più discorsiva e meno matematica. In fin dei conti, la matematica della relatività ristretta è in effetti alla portata di tutti, e Einstein ha preceduto di poco Poincaré, Lorentz e Minkowski nel completare la formulazione fisica corrispondente. Per la relatività generale anche Einstein si è trovato in difficoltà, finché non ha scoperto i risultati della scuola geometrica italiana che erano quello che gli serviva per definire le niente affatto banali trasformazioni dello spazio-tempo. Anche qua Corbò parte da un assunto di base, l’indistinguibilità tra gravità e accelerazione. In questo caso l’uguaglianza viene suggerita dall’uguaglianza tra la massa inerziale e quella gravitazionale. Insomma, se due modi completamente diversi di calcolare la massa di un oggetto danno sempre lo stesso risultato, non sarà perché i due modi non sono poi così diversi? Qui la parte più importante è a mio parere la spiegazione del perché la relatività ristretta “non funziona”, o più precisamwente perché si può avere il paradosso dei gemelli. Non è la differenza di velocità tra chi sta sulla Terra e chi viaggia in astronave che conta, perché nella relatività ristretta le equazioni sono simmetriche, quanto le accelerazioni subite dal cosmonauta. Il libro termina con un’interessante relazione tra le formule della meccanica celeste classica e il raggio di Schwarzschild, il famigerato orizzonte degli eventi di un buco nero. Come capita spesso, un risultato può essere letto in modi diversi a seconda della cornice teorica nella quale viene collocato, e questo ne è un esempio preclaro.

In un paio di punti nella prima sezione Corbò si è dimenticato che non tutti sono fisici. Parlando delle equazioni di Maxwell, scrive del campo elettromagnetico senza dare almeno un’idea di cosa sia; quando segnala che la Terra non è un sistema inerziale, anche se lo si può approssimare come tale, sarebbe stato utile accennare al pendolo di Foucault: non preoccupatevi, lo farà poi nella seconda parte. Fortunatamente queste minuzie non tolgono scorrevolezza al testo e alla successione dei temi. Alla fine della lettura, non garantisco che possiate discettare di relatività con sicumera, ma certamente riuscirete ad accorgervi della sicumera di chi ripete cose senza mai averle capite. Mi pare un ottimo risultato.

Guido Corbò, La luce e il tempo, Salani 2020, pag. 172, €13,90, link Amazon e ibs.it.