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La regola del tre semplice e del tre composto

Mia figlia Cecilia (seconda media) ha oggi l’ultima verifica dell’anno di aritmetica, che verte tra le altre cose sulla regola del tre semplice e del tre composto. Secondo il mio amico Adam Atkinson, al di fuori dell’Italia non c’è più nessuna persona vivente che conosca la regola del tre, anche se naturalmente si sanno risolvere i problemi dove da noi viene applicata. La sua affermazione forse è un po’ esagerata, ma in effetti c’è una conferma indiretta: la voce di Wikipedia in lingua italiana non ha al momento in cui scrivo nessuna versione in un’altra lingua. Il vero guaio è che però il “metodo alternativo” che è indicato nel suo libro di testo per risolvere i problemi del tre composto e che vedete qui sopra è a mio parere assolutamente incomprensibile. Ma voi ve lo ricordate come si risolvevano i problemi con il tre semplice e il tre composto? Io li so ancora risolvere, ma mi chiedo se il metodo che uso – e che vi mostro qui sotto – sia quello che avevo imparato quasi mezzo secolo fa.

Innanzitutto dovete tenere presente che il tre semplice e composto sono delle semplici applicazioni della proporzionalità diretta e inversa, impacchettate in modo tale da ricordarsele facilmente: se il concetto di proporzionalità vi è chiaro, potete anche fare a meno della regola del tre, a meno che non siate interrogati a scuola :-). Il tre semplice vede una proporzione tra due quantità correlate: un tipico problema è “se sei operai producono in una giornata 15 armadi retrattili™, quanti di questi armadi saranno prodotti da dieci operai?” La tipicità del problema si vede innanzitutto dall’irrealtà del nome (che diavolo sarebbe un armadio retrattile™?) ma soprattutto dal fatto che non si tiene conto del fatto che nel mondo reale la proporzionalità non si trova quasi mai. Aumentare il numero di operai può peggiorare le cose perché la gente si pesta i piedi a vicenda, o viceversa avere meno persone costringe chi rimane a fare anche parti del lavoro in cui è meno esperto e quindi allungare i tempi… Ma qui viviamo nel magico mondo della matematica elementare, e possiamo trascurare queste quisquilie.

Quello che potete fare per risolvere a macchinetta il problema è preparare una tabella come quella mostrata qui a destra, dove in alto scrivete tutti i dati che avee a disposizione (che sono tre) lasciando un punto interrogativo per quello da trovare; ma soprattutto mettete due frecce nella stessa direzione per ricordarvi che in questo caso la proporzionalità è diretta. A questo punto, se anche non ci vi ricordate quale sia l’ordine delle operazioni da fare, potete proseguire senza dover accendere il cervello: portate il dato che conoscete (in questo caso gli operai) prima a 1 e poi al valore finale, e modificate in modo corrispondente quello incognito: se le frecce sono nella stessa direzione, se avete moltiplicato continuate a moltiplicare e se avete diviso continuate a dividere, mentre se le frecce vanno in direzione opposta dovete cambiare l’operazione (moltiplicare quando si è diviso e dividere quando si è moltiplicato). Il bello di questo metodo è che funziona esattamente allo stesso modo quando ci sono più di due quantità che variano, come nel metodo del tre composto: qui a sinistra vedete la soluzione del problema indicato sopra. Come scrivevo all’inizio, anche se il metodo è meccanico ci si deve accorgere di quando la proporzionalità è diretta e quando è inversa, che è la cosa che conta davvero nella risoluzione di questi problemi qualunque sia il modo in cui li si approccia.

Un’ultima cosa: a onore del vero la spiegazione che dà il libro della regola del tre semplice – nella figura qui a fianco vedete un problema con il tre semplice inverso – funziona perfettamente, e per molti potrebbe essere anche più semplice di quella che ho spiegato qui sopra. In pratica si scrive una proporzione dove i termini sono ordinati nel senso delle frecce, e poi la si risolve. Come mai allora non hanno usato lo stesso metodo per il tre composto, e hanno solo presentato quello alternativo? Immagino che il motivo sia banalmente il fatto che applicare le proporzioni a più di quattro termini significa dover spezzare in più parti il conteggio. Ma così non è un po’ nascondere la polvere sotto il tappeto?

Aggiornamento: (28 maggio) Adam mi corregge: lui mi ha detto che il fatto che nessuna persona vivente fuori dall’Italia conosce la regola del tre «mi pare vero nel mondo angolofono, a parte gli storici della matematica» (e che la regola del tre è indicata in una sottosezione della voce Cross-multiplication, che in effetti in portoghese diventa Regra de três: vado ad aggiornare Wikidata). Vabbè, permettetemi ogni tanto un’iperbole!