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Trisecare un angolo con riga, squadra e compasso

Lo sapete tutti: trisecare un angolo è impossibile se non in casi particolari. (Un terzo di un angolo retto è un angolo di 30 gradi, e quello sappiamo costruirlo: ma lo sappiamo fare anche senza partire dall’angolo retto). Questo problema, come quelli della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio, era noto già agli antichi greci, ma la sua impossibilità è stata dimostrata solo nel 1837 da Pierre-Laurent Wantzel, con un giro tortuoso che di geometria usa ben poco, visto che passa per l’algebra. Ma se siete stati attenti, ho dimenticato di indicare una limitazione molto importante: trisecare un angolo è impossibile con riga e compasso (compasso alla greca, tra l’altro, che serve a disegnare cerchi ma non a riportare una distanza da un’altra parte della costruzione). E se avessimo a disposizione qualche altro strumento?

Dave Richeson di Division by zero mostra in questo post come sia possibile trisecare un angolo con riga, compasso e squadra: sì, proprio lo strumento triangolare che abbiamo usato tutti a scuola per disegnare. Il vantaggio della squadra è che ci dà un angolo retto “mobile”, che possiamo usare per trovare un punto che non riusciremmo a calcolare altrimenti. La trisezione (di Brook, dal nome di chi l’ha proposta) si può vedere nel disegno qui sopra, preso dal blog di Dave. Per trisecare l’angolo ABC, cominciamo a bisecare il segmento BC nel punto D, e costruiamo la perpendicolare DE ad AB. Costruiamo ora un cerchio di centro C e raggio CD, prendiamo la nostra bella squadra e posizioniamola in modo che un lato passi per B, uno sia tangente al cerchio, e il suo vertice F sia su BE. A questo punto, l’angolo ABF è un terzo di ABC. Come lo si può dimostrare?

Marius Buliga ha fornito la seguente dimostrazione. Sia α la misura dell’angolo ABF e β quella dell’angolo CBF; dobbiamo quindi dimostrare che β=2α. Sia G il punto di tangenza. Disegniamo il segmento CG e prolunghiamo FD fino a incrociare CG nel punto J. Disegniamo ora i segmenti DG, BJ, e CF. L’angolo CGF è retto perché FG è una tangente e CG un raggio, e BFG è retto perché parte della squadra; quindi le linee CG e BF sono parallele, e BFCJ è un parallelogramma. Ciò implica che D biseca la diagonale FJ, cioè DF=DJ. Inoltre FJ è l’ipotenusa del triangolo rettangolo FJG e DG è la sua mediana, pertanto gli angoli DGF e DFG sono uguali. Poiché DG è una corda, l’angolo DCG, che è β, è il doppio di DFG, che però è uguale a ABF (perché entrambi, sommati ad AFB, danno un angolo retto). Visto che ABF = α, la tesi è dimostrata.