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Logica e paragnostica

Un mio amico di cui non faccio il nome mi ha segnalato questo post Facebook di AlphaTest, che contiene una “Domanda di ragionamento logico”. La domanda, per chi non ha voglia di leggerla su Facebook, è uno dei classici quiz a risposta multipla: ecco il testo.

In un gruppo di studenti, 12 parlano italiano, 9 parlano inglese e 9 parlano spagnolo. 5 parlano italiano e spagnolo, 4 parlano inglese e spagnolo e 3 parlano inglese e italiano. Quanti del gruppo parlano solo spagnolo?

A. 6
B. I dati sono insufficienti
C. 5
D. 7
E. Nessuno

La risposta data da Alphatest questa: «In totale 12 studenti parlano italiano, ma tra questi, 5 parlano anche spagnolo (e si trovano quindi nell’intersezione italiano-spagnolo) e 3 parlano anche inglese (e si trovano quindi nell’intersezione italiano-inglese). Gli studenti che parlano solo italiano sono dunque 12-5-3 = 4. Analogamente, gli studenti che parlano spagnolo sono complessivamente 9, ma tra questi 5 parlano anche italiano e 4 parlano anche inglese. Per trovare gli studenti che parlano solo spagnolo dobbiamo togliere dal totale (9) quelli che parlano anche italiano o inglese (5+4). Tale differenza è zero, pertanto possiamo concludere che nessuno studente parla soltanto spagnolo.» Nei commenti qualcuno ha fatto notare che la soluzione non era corretta, perché presupponeva che nessuno studente parlasse tutte e tre le lingue. In effetti io avevo fatto i calcoli per conto mio e avevo trovato quattro possibilità, a seconda se gli studenti poliglotti fossero 0, 1, 2 oppure 3, e quindi avrei risposto che i dati erano insufficienti. La risposta di Alphatest (dopo un paio di settimane, presumibilmente per sentire un esperto) è invece stata: «visto che l’esercizio NON cita casi di persone che parlano 3 lingue, NON sei autorizzato a pensare che esistano, sei tenuto ad attenerti rigorosamente allo scenario proposto.» (il tutto preceduto da quella che a mio parere è una supercazzola).

Ora, non ci sarebbe stato nessun problema se Alphatest si fosse accorto dell’errore e avesse emendato la propria risposta. Chi segue abitualmente i miei post sa benissimo che a me capita spesso di sbagliare le risposte che do, a volte per distrazione, altre volte perché proprio avevo letto male il problema che stavo proponendo. Amen: correggo e ringrazio. Non riesco proprio a capire perché uno deve pertinacemente sostenere la propria posizione: se non c’è scritto da nessuna parte se ci sono o no studenti trilingue vuol dire che sia l’ipotesi che la sua negazione sono ammissibili, e del resto non si capisce perché gli studenti che parlano italiano possono anche parlare spagnolo o inglese ma quelli che parlano due lingue non ne possono parlare tre, visto che la formulazione è esattamente la stessa nelle due parti iniziali della domanda, a differenza della parte finale dove si specifica che bisogna indicare il numero di studenti che parla solo spagnolo. Detto in altri termini, sembrerebbe quasi che bisogni divinare un’affermazione non indicata, perché altrimenti avremmo avuto tracce di un’affermazione diversa. Quindi se io dico che il quadrato di un numero è sempre positivo ho ragione, perché il quadrato di un numero positivo è positivo e il quadrato di un numero negativo è anch’esso positivo. Certo, il quadrato di zero è zero che non è positivo, ma non c’era scritto da nessuna parte che il numero poteva anche essere zero!

Diciamo insomma che se state preparandovi per un test di ammissione vi consiglio di verificare molto attentamente dove vi preparate…

Per chiudere questo post con una nota costruttiva, vi segnalo un modo molto utile per calcolare il numero di elementi di un insieme nel caso vi siano dati tutti i sottoinsiemi possibile: il principio di inclusione-esclusione. Il principio prende il suo nome dal fatto che bisogna ordinatamente includere ed escludere gli insiemi con n elementi dal conteggio, per arrivare al risultato totale. Se per esempio nel problema in questione ci fosse stato detto che un solo studente è trilingue (e tutti parlano almeno una di quelle lingue… questo sempre per evitare risposte tipo “gli studenti sono 42; quelli che mancano al totale parlano solo tedesco”) e ci fosse stato chiesto qual è il numero totale di studenti, immaginando che |A| sia il numero di studenti che parlano italiano, |B| quelli che parlano inglese, |C| quelli che parlano spagnolo, la formula sarebbe

# totale = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

dove vedete che si includono gli insiemi con un elemento, si escludono quelli con due (perché erano stati contati due volte) e si includono nuovamente quelli con tre elementi (perché erano stati tolti una volta di troppo). Nel nostro esempio avremo quindi 12+9+9-3-5-4+1=19 studenti.