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Kenneth Arrow

Kenneth Arrow, morto martedì scorso a 95 anni, è stato uno degli economisti più noti al grande pubblico, non fosse altro che per il suo teorema di impossibilità, uno dei risultati probabilmente meno compresi ma più raccontati in giro, perché effettivamente sembra troppo bello per essere vero. Il teorema è di solito espresso nella forma “non esiste un sistema di voto perfetto”, o anche “l’unico sistema di voto coerente è la dittatura”; ma le cose non stanno proprio così, e soprattutto fermarsi a quel risultato è davvero limitativo.

Per capire il vero significato del teorema occorre innanzitutto avere un’idea del background di Arrow. Spesso si dice che gli economisti sono coloro che fanno finta di usare la matematica per giustificare qualunque idea strampalata che hanno avuto, e bisogna dire che in molti casi questa definizione non è poi così lontana dal vero: ma nel caso di Arrow è assolutamente falsa, visto che si era laureato in matematica alla Columbia University e tutti i suoi lavori hanno sempre avuto una fortissima componente matematica. Il suo risultato non è una legge (il termine che i matematici usano per indicare qualcosa che funziona più o meno sempre) ma un teorema vero e proprio, dimostrabile formalmente e applicabile a tutti i sistemi di voto in cui ciascun elettore ha una (implicita) graduatoria tra i candidati, e da cui deve uscire una graduatoria complessiva. Nei primi anni ’50 del secolo scorso Arrow suppose di voler rispettare alcuni vincoli che si direbbero naturali se vogliamo un sistema democratico:

1. universalità: il risultato deve essere univoco, senza pareggi tra i candidati.
2. non imposizione: data una qualunque graduatoria finale, deve esistere un insieme di scelte che porti a quella graduatoria. In pratica, nessun risultato deve essere impossibile a priori.
3. non dittatorietà: il risultato non deve dipendere solo dalle scelte di un singolo votante oppure di un sottoinsieme dei votanti, ignorando gli altri. In altre parole, se tutti gli altri sono contrari alle scelte di una persona queste non passeranno.
4. unanimità: se tutti i votanti preferiscono la scelta A alla scelta B, anche la graduatoria finale vedrà A precedere B. Al posto di questa ipotesi si può usare quella più debole (vale a dire con meno vincoli) della monotonicità: se qualcuno cambia idea e promuove nella sua graduatoria una scelta A, la graduatoria complessiva non può vedere peggiorare la posizione di A; nella peggiore delle ipotesi non cambia nulla.
5. indipendenza dalle alternative irrilevanti: se un candidato si ritira, la nuova graduatoria deve essere la stessa di quella vecchia a meno naturalmente della presenza di quel candidato. Letta in maniera diversa, non dev’essere possibile aggiungere un candidato di disturbo per far perdere un altro specifico candidato.

Bene: se ci sono almeno tre candidati e due votanti, allora questi vincoli sono tra di loro incompatibili, o se preferite non esiste nessun modo per definire una graduatoria complessiva (una funzione di scelta) che li rispetti sempre tutti. E come dicevo questo si può dimostrare matematicamente: senza entrare nei particolari, i vincoli delle varie ipotesi tranne quella della non dittatorietà conducono necessariamente a trovare un singolo votante che è sempre decisivo, e quindi nelle ipotesi del teorema è un dittatore. Tutto è perduto, allora? Non necessariamente.

Come capita sempre in matematica, quando si guarda un teorema bisogna anche osservare le sue ipotesi: in questo caso ci sono almeno due punti da tenere d’occhio. Il primo è la richiesta di non avere pareggi. È dalla rivoluzione francese che vogliamo questa cosa, da quando Condorcet tirò fuori il suo paradosso: se Alice ritiene che l’ordine dei migliori Beatles sia John, Paul, George; Mina sceglie Paul, George, John; Fiordaliso li ordina George, John, Paul (Ringo è fuori classifica, tutti amano Ringo) non è possibile fare alcuna graduatoria. Ma a questo punto si può anche decidere di scegliere a caso, tanto è irrilevante, no? Il secondo assunto di Arrow è che ci si limiti a mettere in ordine i candidati e non si dà loro una differenza quantitativa, per esempio dando a ciascun elettore 100 voti da dividere come vuole tra i candidati. Potranno sempre esserci casi eccezionali come quello del paradosso di Condorcet, ma forse in generale si può avere una soluzione: nessuno ha ancora dimostrato nulla né in un senso né nell’altro.

Ma come scrivevo all’inizio, limitarsi al teorema di impossibilità per ricordare Arrow è sicuramente riduttivo. La ragione per cui vinse il Nobel per l’economia non fu mica quel teorema, ma per il suo lavoro sulla teoria dell’equilibrio economico generale, che in due parole afferma che in un mercato dove ci sono più compratori e venditori di più merci può esserci equilibrio tra domanda e offerta anche senza che qualcuno (lo Stato o chi per esso) si metta a definire prezzi e altro. Una versione iniziale del teorema era stata dimostrata da Abraham Wald, ma Arrow la ampliò parecchio. Non che il teorema funzioni davvero nel mondo reale: il problema è come sempre nelle ipotesi. Nella versione dimostrata da Arrow si suppone che se Tizio vende un prodotto a Caio allora a Sempronio la cosa non importa, ma pensate a cosa succede se nelle sue operazioni Tizio inquina tutto il territorio. In pratica Arrow dopo aver formulato le sue ipotesi passò il resto della sua carriera a cercare di renderle sempre più generali, per avvicinarsi il più possibile al mondo reale. Poi ha dimostrato la possibilità pratica della teoria della crescita endogena, nella quale è il progresso stesso della tecnologia che fa crescere la qualità della vita senza bisogno di supporre l’esistenza di spinte esterne, e ha studiato i sistemi a informazione asimmetrica, quelli dove c’è qualcuno che sa più degli altri, per vedere se era possibile tutelare la parte più debole. Insomma, un vero matematico prestato all’economia!