Accoppiamenti e partite fantasma
In uno tra i tanti problemini presentati da Martin Gardner, un adolescente chiede a suo padre se può uscire con gli amici sabato sera. Suo padre gli risponde “Facciamo un patto. Da oggi a venerdì ci sono tre giorni. Ogni sera, mamma e io ci alterneremo a fare una partita a scacchi con te: se ne vincerai due due di fila, potrai uscire sabato: altrimenti sarai di corvée a pulire casa per una settimana”. Il ragazzo risponde “Va bene. Con chi comincerò a giocare?” e il padre “Scegli tu”. Se la mamma è più brava del padre a giocare a scacchi, cosa gli conviene fare?
Gardner dà la risposta corretta facendo un po’ di noiosi conti combinatorici, poi aggiunge due altri modi che dovrebbero portare alla risposta. Considerando che per vincere due partite di fila occorre vincere quella di centro, è meglio giocarla contro l’avversario più debole: simmetricamente, è meglio avere due possibilità di vittoria contro il più forte. Insomma, è meglio cominciare a giocare contro la mamma. In realtà queste sono più che altro dimostrazioni per gesticolazione, e non portano davvero alla certezza. Fortunatamente però esiste una tecnica, che il matematico Peter Winkler (nessuna parentela con Fonzie, che io sappia) chiama “accoppiamento” (coupling), che porta alla risposta senza dovere fare conti.
Il concetto alla base dell’accoppiamento è che se occorre raffrontare due eventi disgiunti, a volte è possibile ampliare entrambi gli eventi, aggiungendo “eventi fantasma”, per ottenere configurazioni più semplici da raffrontare. Nella figura qui a fianco, anziché misurare i due cerchi che hanno una parte in comune si possono confrontare le due lunule che sono invece disgiunte; viceversa se partiamo dalle lunule possiamo aggiungere loro la parte comune e confrontare i due cerchi. Ma forse è più facile fare un esempio pratico! Nel nostro caso, immaginiamo che le partite a scacchi, sempre a genitori alternati, siano quattro, iniziando a giocare con il padre; ma che prima di cominciare a giocare il ragazzo debba decidere a priori se la prima oppure l’ultima sarà un’amichevole, e quindi non conterà per il risultato. È chiaro che a seconda della scelta fatta – a priori, ricordo… – si cascherà nella prima o nella seconda possibilità; ma ora abbiamo un unico spazio degli eventi. Il secondo trucco da considerare è più sottile: non bisogna controllare tutte e sedici le possibilità di vittorie e sconfitte, ma solo quelle in cui il ragazzo è riuscito a vincere la sfida e per cui la scelta preliminare di quale partita considerare amichevole ha fatto la differenza. I casi sono solo due: XSVV e VVSX, dove V sta per vittoria, S per sconfitta e X è irrilevante. In pratica, se ha perso la seconda partita sarà felice che la prima fosse amichevole, se ha perso la terza sarà felice che l’amichevole fosse la quarta. (Se le ha perse entrambe o vinte entrambe, non gli cambia nulla nel bene o nel male). Ma ora possiamo eliminare le due vittorie, visto che sono state contro entrambi i genitori e la probabilità era la stessa; restano XS e SX, dove nel primo caso la sconfitta è stata con la madre (più probabile) e nel secondo con il padre. Dunque è meglio che la prima partita non conti, il che equivale a dire che è meglio cominciare a giocare contro la mamma. Tutto questo può sembrare complicato rispetto ai conti combinatorici; ma la tecnica si applica esattamente allo stesso modo se le partite da giocare fossero un numero dispari qualunque e quelle da vincere in fila numero pari qualunque. Dite nulla…
Per i solutori più che abili, Winkler propone un altro problema. Questa volta c’è la finalissima del campionato di basket, al meglio delle sette partite. Insperabilmente, la vostra squadra del cuore è in finale, ma sapete che in ciascuna partita ha solo il 40% di probabilità di vincere. Nella prima gara la vostra squadra ha perso: per la delusione vi ubriacate e finite all’ospedale. Quando vi risvegliate, scoprite che ci sono state due partite con una vittoria per parte, e quindi ora il punteggio è 2-1 per gli avversari. Rispetto a prima dell’ubriacatura, le chance di vincere il titolo sono maggiori o minori?
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