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Il continuo, questo sconosciuto

I numeri corrispondenti ai punti di una retta sono quelli reali. Lo sappiamo tutti. Non ce ne possono essere degli altri, e ci servono proprio tutti perché con i soli razionali ci sono dei buchi, anche se non riusciamo a vederli. Del resto, l’analisi matematica richiede necessariamente i numeri reali (beh, anche gli immaginari, ma non allarghiamoci troppo: si può anche solo fare analisi reale) e sappiamo bene quali sono i risultati che ci ha dato. Senza numeri reali non ci sono le funzioni, non esiste la nozione di continuità, eccetera eccetera. Peccato che le cose non siano poi così semplici come ci hanno fatto credere per tutto questo tempo, forse perché quella parolina “reali” si è insinuata nel nostro cervello e ci ha obnubilato. Perché non proviamo a rivedere le cose da un altro punto di vista?

Innanzitutto, ecco un rapido riassunto di come si è arrivati al continuo in matematica. Prima degli antichi greci non pare che nessuno si preoccupasse piu di tanto della cosa. I babilonesi avevano tavolette dove venivano scritti i valori di alcuni numeri periodici e anche irrazionali, come la radice quadrata di due: si scrivevano un po’ di “cifre” (sessagesimali) fino a che non si arrivava a un’approssimazione più che sufficiente per gli scopi pratici. I greci, come si sa, sono sempre stati più rompiscatole. Per loro un numero era un rapporto tra due grandezze misurate entrambe mediante un’altra, l’unità di misura. Ma la leggenda vuole che il primo ad accorgersi che non sempre era possibile esprimere un numero mediante un rapporto fu il pitagorico Ippaso di Metaponto. Vero? Falso? Chi lo sa. Però è indubbio che qualcuno ci deve essere arrivato, e tanto vale chiamare quel qualcuno Ippaso. A scuola tipicamente raccontano che Ippaso aveva dimostrato che non c’era nessuna unità che misurasse la diagonale di un quadrato e il lato del quadrato stesso: noi diremmo che √2 è un numero irrazionale. La dimostrazione indicata sfrutta il fatto che un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari. Ma alcuni studiosi ritengono che forse non è stato quello il primo irrazionale ad essere stato trovato, e la palma vada al rapporto aureo φ = (1 + √5)/2. A vederlo così sembra un numero più complicato di √2, ma in realtà non è altro che il rapporto tra lato e diagonale di un pentagono: se si disegnano le diagonali si ottiene un pentagono più piccolo all’interno del primo e con semplici sottrazioni si vede che se il rapporto iniziale fosse tra due interi si giungerebbe a una discesa infinita.

Qualunque sia stato il primo numero irrazionale trovato e chiunque sia riuscito a dimostrarlo, il risultato pratico fu uno choc dal quale i greci non si riebbero mai, tanto che decisero di fondare tutta la matematica sulla geometria. La teoria dei rapporti che si trova negli Elementi di Euclide è un lavorone che permette di trattare i numeri irrazionali senza doverli davvero usare. Per duemila anni tutti i matematici, a partire da Archimede fino ad arrivare a Newton (e Leibniz, anche se quest’ultimo era più interessato alla filosofia e considerava le sue scoperte matematiche più che altro una proof of concept della validità delle sue idee), si sentirono in dovere di dimostrare geometricamente i risultati che avevano ricavato con mezzi molto più potenti per quanto non a prova di errore. Nulla di male, intendiamoci. Leggendo un libro di matematica sembra che sia tutto lì, bello perfettino, senza che ci sia una sbavatura nel filo logico; ma chiunque abbia mai provato a dimostrare qualcosa sa fin troppo bene che per arrivare al risultato vale tutto, e solo quando si sa la risposta si può cominciare a tirare giù le impalcature e nascondere il proprio lavoro.

A dire il vero, una differenza tra Archimede e Newton c’è. Il primo, pur non disdegnando certo le applicazioni della matematica, da buon ellenista preferiva di gran lunga le scoperte teoriche, mentre Newton è stato per così dire costretto a divenare un matematico teorico perché aveva bisogno di un metodo per risolvere i problemi di fisica che gli si ponevano davanti. Da qua si può comprendere come mai il suo approccio all’analisi sia stato piuttosto oscuro, con flussioni e fluenti e i fantasmi di quantità defunte, come Berkeley chiamò gli infinitesimi. Non che Leibniz fosse messo meglio da questo punto di vista: però almeno lui usava una notazione più comprensibile che permetteva di fare vari giochini formali che portavano al risultato, un po’ come scrivere il differenziale come dy/dx quasi fosse un vero rapporto: fu così lui a vincere. Entrambi gli approcci dei due grandi analisti, però, non si curavano più di tanto di quali fossero i numeri corrispondenti ai punti di una retta: bastava che datone uno qualsiasi si potesse ricavare il valore corrispondente nella funzione che si stava considerando.

I matematici però sono brutte bestie, che non si accontentano mai e vogliono generalizzare. Così intorno al 1800 si pensò che le funzioni erano interessanti indipendentemente da una loro eventuale origine fisica e ci si mise a studiarle senza più nessun sottofondo fisico. Ben presto ci si accorse che gli assunti su cui si basava l’analisi, quelli di continuità e derivabilità, non erano mica così indiscutibili come si pensava. Iniziarono a spuntare funzioni che non si “comportavano bene”; si provò a dire che erano patologiche, ma poi ci si accorse che erano la norma, se si definisce una funzione come un qualcosa che associa a un valore un altro valore senza nessun altro vincolo. Occorreva un pugno di ferro per riportare la situazione in riga: non è certo un caso che il primo a dedicarsi seriamente a questo lavoro fu un bigotto reazionario come Cauchy, che con le successioni che hanno poi preso il suo nome diede una prima definizione valida di numero reale e soprattutto tirò fuori la definizione di continuità con epsilon e delta – che elimina formalmente il ricorso all’infinito sfruttando appunto una successione di valori sempre più vicini – che usiamo ancora oggi. Il quadro si completò con Dedekind, che finalmente diede una definizione formale di numero reale con i suoi tagli.

Per Dedekind si prende una proprietà dei numeri (razionali) che o è vera o è falsa, e tale che se è vera per r lo è anche per tutti gli s<r mentre se è falsa per r lo è anche per tutti i t>r. In pratica abbiamo suddiviso tutti i numeri razionali in due insiemi, tali che tutti gli elementi del primo sono minori di tutti gli elementi del secondo. Bene, si possono dare tre casi. L’insieme inferiore ha un elemento massimo, e quello superiore non ha un minimo. (Esempio di proprietà: “Il quadrato del numero razionale scelto è minore o uguale a 1.”) L’insieme superiore ha un elemento minimo, e quello inferiore non ha un massimo (“Il quadrato del numero razionale scelto è minore di 1.”) L’insieme superiore non ha elemento minimo, e quello inferiore non ha elemento massimo. (“Il quadrato del numero razionale scelto è minore o uguale a 2.”) Nei primi due casi si associa il numero razionale che è l’elemento limite al taglio, dimostrando che va bene in entrambi i casi; nel terzo caso si crea un numero (irrazionale) definito dalla proprietà in questione. Certo, poi bisogna mettersi a dimostrare che queste definizioni sono coerenti con quello che ci aspettiamo dai numeri reali per così dire ingenui: la cosa è un po’ noiosa ma non richiede grandi capacità di astrazione.

A questo punto il gioco è fatto: abbiamo riempito lo spazio tra i numeri razionali infilando dentro tutti questi nuovi numeri. Notate che Dedekind giustamente definì il suo come assioma di continuità, senza pretendere di dimostrarlo, e accontentandosi del fatto che non c’erano più buchi nella retta. Ci penserà Georg Cantor a scoprire che il terzo caso del suo amico in realtà capita quasi sempre; detto in termini più comprensibili, i numeri irrazionali sono infinitamente più di quelli razionali, perché non possiamo proprio contarli. Ma delle conseguenze di questo parlerò un’altra volta.