La congettura degli insiemi union-closed [Pillole]
Partiamo da una definizione non molto complicata. Una famiglia di insiemi si dice chiuso rispetto all’unione (“union-closed” in inglese, forma che userò perché molto più compatta) se presi due qualunque insiemi della famiglia la loro unione fa ancora parte della famiglia. Prendiamo per esempio la famiglia formata da {}, {1,3}, {2}, {1,2,3,42}; essa non è union-closed perché gli manca l’unione di {1,3} e {2}, ma se aggungiamo {1,2,3} lo diventa. Bene: nella famiglia completa è facile vedere che c’è un elemento, 2, che appartiene almeno a metà degli insiemi. È sempre vero che data una famiglia finita union-closed di insiemi finiti c’è un elemento che appartiene almeno a metà degli insiemi? Non si sa. La congettura è stata posta da Péter Frankl nel 1979 e almeno secondo Wikipedia ha finora resistito a ogni tentativo di risoluzione. Ci sono vari tipi di famiglie di insiemi per cui la congettura è vera, ma non si sa di più.
Se vi dicono che la combinatorica è una parte della matematica facile, perché basta fondamentalmente saper contare, potete presentargli questo esempio…
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