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Moltiplicazioni con le dita

Lunedì scorso un articolo di Repubblica raccontava di come in Gran Bretagna i bambini di 9 anni saranno nuovamente tenuti a conoscere a memoria le tabelline fino al dodici e fare gare di velocità. Per la cronaca, io ritengo importante conoscere a memoria le tabelline (fino al dieci) perché sono l’equivalente dell’alfabeto, ma sono contrario all’idea delle gare di velocità. Più interessante l’articolo a fianco, dove Piergiorgio Odifreddi racconta il suo trucco per moltiplicare con le dita dopo avere imparato solo le tabelline fino a quella del cinque. Vi siete chiesti come funziona il trucco? Non preoccupatevi, qui sul Post lo posso spiegare bene :-)

Come ho scritto, bisogna comunque imparare tutte le tabelline fino a quella del cinque: per gli altri casi, dove il primo fattore è maggiore di cinque, bisogna considerare due casi distinti. Nel primo caso, come in 8×3, il secondo fattore è minore o uguale a cinque. In questo caso basta invertire l’ordine dei fattori, sperando che nessun estimatore della matematica contemporanea si lamenti: trasformiamo 8×3 in 3×8 e siamo a posto. Resta dunque il caso in cui entrambi i fattori siano maggiori di cinque, e qui inizia il trucco vero e proprio.

Come si vede nel disegno qui sopra dove si moltiplica 7×8, nella mano sinistra si tengono alzate tante dita quanto è il primo fattore meno cinque, e nella mano destra se ne tengono alzate tante quanto è il secondo fattore meno cinque. Abbiamo così rispettivamente due e tre dita alzate. Bene: il numero di decine del prodotto è dato dalla somma delle dita alzate, mentre quello delle unità è dato dal prodotto delle dita abbassate. Nel nostro caso abbiamo 3+2=5 decine e 2×3=6 unità, per un risultato di 56. Attenzione! In alcuni casi, come in 6×7, le “unità” sono 12 e quindi c’è un riporto sulle decine: abbiamo così 30+12=42.

Per capire come mai questo metodo funziona, ci vuole un po’ di algebra. Se la nostra moltiplicazione è x×y, con 6 ≤ x,y ≤ 9, abbiamo che:

• Le dita alzate nella mano sinistra sono x−5
• Le dita alzate nella mano destra sono y−5
• Le dita abbassate nella mano sinistra sono 10−x
• Le dita abbassate nella mano destra sono 10−y

Il nostro algoritmo ci fa ottenere

10[(x−5)+(y−5)] + [(10−x)(10−y)]

che espandendo diventa

[10x + 10y − 100] + [100 − 10x − 10y + xy]

e semplificando rimane xy. Semplice, no?

Per la cronaca, il metodo è molto antico, e viene a volte chiamato “moltiplicazione del contadino europeo” (European peasant multiplication), da non confondere con la “moltiplicazione del contadino russo” che è completamente diversa e di cui potete imparare di più leggendo per esempio Gianluigi Filippelli. Se vi piace contare con le dita, questo articolo di Sidney J. Kolpas vi insegnerà tanti nuovi trucchi anche per moltiplicare con le dita numeri maggiori di 10 (ma sempre appartenenti alla stessa cinquina): a me sembra un’inutile complicazione, ma magari a qualcuno piacerà stupire gli amici con gli effetti speciali!

P.S.: È vero che i babilonesi usavano un sistema sessagesimale, ma in effetti era fondamentalmente un misto decimale-sessagesimale, quindi non sarebbero servite tutte quelle tabelline paventate da Odifreddi!