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Il teorema di Futurama

Come per esempio spiega Wikipedia, Futurama è è una serie TV a cartoni animati creata da Matt Groening (autore anche de I Simpson) e David X. Cohen. Come anche in altri casi (si pensi a South Park), questi sono cartoni pensati per adulti: ma arrivare ad avere un teorema matematico creato espressamente per la serie è un bel risultato!

Come si può leggere su The Infosphere, nell’episodio Il prigioniero di Benda (stagione 6, episodio 10) il professor Farnsworth e Amy hanno creato una macchina per scambiare le menti, o se preferite i corpi. Peccato che scoprano che la macchina ha un difetto fondamentale: che se due persone si sono scambiate la mente tra di loro non possono ri-scambiarsi. Dopo questa scoperta comincia un valzer di scambi mentali, tanto che alla fine ci sono nove persone – in senso lato – in un corpo diverso dal loro. A questo punto il professor Farnsworth e i Globetrotter si mettono alla lavagna e trovano un modo per rimettere tutte le cose a posto usando due sole persone “vergini”, nel senso che non hanno mai avuto uno scambio di corpi tra di loro né con gli altri da scambiare; tutto è bene ciò che finisce bene.

La sceneggiatura dell’episodio è di Ken Keeler, che ha un PhD in matematica e si deve essere divertito a inserire un vero (e inedito) teorema in un cartone animato. La dimostrazione non è complicata, almeno per un matematico. Dovete sapere che ogni permutazione può essere “decomposta” in un certo numero di cicli con tutti elementi distinti, dove un ciclo è qualcosa del tipo a → b → c → … → s → a e la freccia significa che un elemento è stato permutato in un altro. In pratica si prende la mente di un personaggio, si vede in quale corpo è stato tramutato, si prende la mente corrispondente e si continua così finché non si ritorna al punto di partenza; a questo punto si cerca qualcuno che non è ancora stato considerato e si prosegue allo stesso modo. A questo punto si prende uno di questi gruppi, si aggiungono due nuovi emementi x e y, e si costruisce esplicitamente l’insieme di scambi che rimettono tutti a posto, facendo attenzione a non scambiare mai x con y; facendo il lavoro per tutti i cicli arriviamo alla soluzione. L’unica cosa a cui stare attenti è che in alcuni casi il riassestamento del ciclo potrebbe terminare con x e y scambiati tra di loro: non è un problema, basta ricordarsi di farli scambiare solo dopo che tutti gli altri sono tornati nei loro corpi.

È interessante notare come la costruzione non sia ottimale; questo non è generalmente un problema per un matematico, a meno che non stia risolvendo un problema di ottimizzazione, ma può sconcertare chi matematico non è. Capita un po’ come nelle barzellette che prendono in giro i matematici, come quella in cui il matematico svuota un pentolino già pieno d’acqua se deve cuocere un uovo sodo “per riportarsi al caso precedente”. Il punto è che il teorema deve essere valido sempre, e la dimostrazione deve essere il più compatta possibile: ecco perché si accettano delle subottimalità.

E poi, volete mettere com’è carina quella schermata di formule?