costruttivismo e radice quadrata di due
Non sono mai riuscito a capire se chi la matematica la odia ha o no problemi con le dimostrazioni per assurdo. Per chi non si ricorda di cosa parlo, una dimostrazione per assurdo di un teorema è quella in cui si immagina che il teorema sia falso, ci si mette a trarre un po’ di deduzioni logiche e alla fine si scopre che ci stiamo contraddicendo. Ma se tutte le deduzioni sono formalmente corrette allora l’unico punto dove possiamo aver sbagliato è l’assunzione iniziale: quindi il teorema non è falso e pertanto è vero. Voi che ne pensate, innanzitutto?
No, non sto dicendo che voi odiate la matematica: c’è infatti una piccola corrente di matematici, che si rifà al matematico olandese del secolo scorso https://it.wikipedia.org/wiki/Luitzen_Brouwer, che non è per nulla convinta che se una cosa non è falsa allora è vera; in altre parole costoro non accettano la legge del terzo escluso, che credo arrivi sin da Aristotele. Il guaio, secondo loro, è che la legge va benissimo finché abbiamo un numero finito di scelte: se sappiamo che sotto una delle tre tazze rovesciate c’è una moneta, e dimostriamo che due di esse non hanno niente, la moneta sarà sotto la terza tazza. Ma se le tazze sono infinite mica possiamo verificarle tutte meno una!
La corrente matematica in questione prende il nome di costruttivismo, e richiede che tutte le dimostrazioni matematiche siano appunto costruttive (mostrino effettivamente quello che si vuole ottenere) e non per assurdo (mostrino che il contrario di quello che si vuole ottenere è falso). Per ironia della sorte, il risultato matematico per cui Brouwer è giustamente noto è il suo teorema del punto fisso… la cui dimostrazione non è costruttiva: ma non si può avere tutto dalla vita. I costruttivisti cercano pertanto di trovare dimostrazioni costruttive dei teoremi: peccato che spesso la cosa non sia così semplice.
Come esempio, prendiamo la dimostrazione dell’irrazionalità di √2. Già gli antichi greci sapevano che la diagonale di un quadrato non era rapportabile in nessun modo con il lato corrispondente, e la cosa li aveva scoraggiati così tanto da decidere che l’aritmetica sarebbe semplicemente stata un corollario della geometria, dalle basi molto più sicure (certo, certo). Qualche anno fa avevo mostrato due dimostrazioni diverse: la prima (probabilmente ellenistica) che mostra che se √2 fosse un rapporto m/n allora n dovrebbe essere contemporaneamente pari e dispari, e la seconda (trovata da Stanley Tennenbaum negli anni ’50, ma che è possibile fosse quella originale dei pitagorici) funziona per discesa infinita: partendo da una supposta uguaglianza √2 = m/n troviamo un’altra frazione m’/n’ uguale a √2 ma con n'<n (e ovviamente m'<m). Visto che non possiamo trovare interi positivi sempre più piccoli, la dimostrazione è completa.
Bene: entrambe le dimostrazioni, come abbiamo visto, non sono costruttive. E se ne volessimo una costruttiva? Beh, a quanto pare la cosa non è così banale come sembra. Io ci ho provato a pensare un po’ su, ma alla fine sono ricaduto su santa Wikipedia (in inglese, mi spiace) che mi ha illuminato: il punto fondamentale è la definizione di un numero irrazionale. È ovvio che non possiamo cavarcela dicendo che un numero è irrazionale se non è razionale: di costruttivo non c’è molto. Quale può essere una definzione costruttivista di un numero irrazionale? Per esempio, che sia diverso da tutti i numeri razionali; cioè che se chiamiamo r il numero tale che r2=2, per ogni razionale a/b abbiamo che |r−(a/b)| sia strettamente maggiore di zero. Siamo quasi pronti: dobbiamo solo dimostrare il lemma che dice che r<3/2 (e questo è facile: si parte da 8<9, da cui 2<(9/4) e si prende la radice quadrata di entrambi i membri). La dimostrazione è qui sotto; se siete allergici saltatela pure e fidatevi dei conti.
Supponiamo dunque di avere una qualunque frazione a/b, dove a e b sono entrambi maggiori di zero. Consideriamo ora i due numeri a2 e 2b2, e vediamo il valore della maggiore potenza di due che li divide esattamente. Per il primo questo valore è pari e per il secondo è dispari: questo significa che i due numeri sono distinti, e quindi |2b2−a2|≥1. Da qui ci sono “semplici” passaggi algebrici:
L’unico passaggio a cui bisogna stare attenti è l’ultimo, che presuppone che a/b≤3−r; ma nel caso contrario, visto il nostro bel lemma, sappiamo che a/b>3/2 e quindi sicuramente è diverso da r. Abbiamo insomma dimostrato che ogni razionale (positivo) è diverso da √2: QED.
Quello che mi ha oltremodo stupito è che questa dimostrazione, almeno nella versione wikipediana, è datata 2011. È probabile che ci siano state dimostrazioni costruttive precedenti, ma in ogni caso è chiaro che il concetto di dimostrazione costruttiva non è poi così apprezzato. Può poi essere un mio limite, ma devo riconoscere che non mi sarebbe mai venuta in mente una simile linea di attacco al problema. Non c’è nulla di davvero complicato, un qualunque studente liceale può verificare i passaggi; è proprio la cornice che è davvero strana. Ma secondo voi una dimostrazione di questo tipo ha una qualsivoglia utilità oppure no? EE la considerereste costruttiva? In fin dei conti non “costruiamo” nulla…
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