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Geometria a macchinetta

Un paio di mesi fa il mio amico Stefano si lamentò per gli esercizi di geometria dati a uno dei suoi tanti figli, che frequenta la quinta elementare. Il libro da cui sono tratti è questo; gli esercizi sono mostrati nell’immagine qui sotto, e per facilitare le cose li ricopio qui sotto.

a) Calcola il perimetro e l’area di un trapezio isoscele avente la base maggiore di 14,8 cm, la base minore di 6,6 cm e l’altezza di 3 cm.
b) Calcola il perimetro e l’area di un triangolo equilatero avente il lato di 7 cm e l’altezza di 5,2 cm.
c) Calcola il perimetro e l’area di un rombo avente il lato di 8,5 cm e le diagonali di 6 cm e 9 cm.

Siete capaci a scoprire cosa c’è che non va?

Immagino che in molti si saranno chiesti perché questi problemi hanno dati ridondanti: in fin dei conti l’altezza di un triangolo equilatero è definita dalla base e il lato di un rombo dalle sue diagonali. Bisogna però tenere a mente che in quinta elementare non si è ancora studiato il teorema di Pitagora, e quindi il bambino avrebbe dei problemi a ricavare quei dati. D’altra parte mi ricordo perfettamente le formule che avevamo per calcolare le altezze e gli apotemi: nei quaderni a quadretti erano tutte scritte nell’ultima pagina. No, il guaio è un altro.

Ricordate qual è il numerello magico da moltiplicare alla misura del lato di un triangolo equilatero per ricavarne l’altezza? È 0,866, un’approssimazione più che sufficiente del valore effettivo di √3/2. Moltiplichiamo 7 per 0,866 e otteniamo 6,062, che arrotondiamo a 6,1 – i conti li stiamo facendo con una sola cifra decimale. Toh. Ma come è possibile allora che il secondo problema parli di un triangolo equilatero di lato 7 cm e altezza 5,2 cm? Come Stefano si è accorto facendo disegnare a suo figlio il triangolo del problema, quello è isoscele ma non certo equilatero. Ribadisco: nessuno pretende una precisione assoluta, che non avrebbe nemmeno senso in quel contesto: ma visto che dal punto di vista dei conti che il bambino deve fare scrivere 5,2 oppure 6,1 non fa nessuna differenza, non si capisce perché non si sia usato il valore approssimato correttamente.

Lo stesso capita con il terzo problema: noi che siamo grandi e conosciamo il teorema di Pitagora sappiamo che il lato di un rombo è la metà dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti le due diagonali, e quindi la sua lunghezza misurata in centimetri sarà √(81+36), cioè circa 5,4 cm. Peggio ancora: se provate a disegnare il “rombo”, scoprirete che il supposto lato di 8,5 cm è maggiore della somma delle due semidiagonali; insomma, almeno se decidiamo di limitarci alla geometria euclidea, quel rombo è proprio impossibile da disegnare anche a pezzetti!

Naturalmente, quando sopra ho scritto che non si capisce perché non si sia usato il valore approssimato correttamente, facevo un’affermazione retorica. Lo si capisce perfettamente: chi ha compilato il libro di esercizi non aveva nessuna voglia di mettersi a fare due conti e ha inserito numeri a caso una volta che si è reso conto che il bambino di quinta elementare aveva bisogno di più dati di quelli effettivamente necessari. Qual è la logica deduzione che si può fare? Che non te ne deve importare assolutamente nulla di cosa c’è dietro i problemi. Non siamo nemmeno al passo della dematematizzazione, cioè al presentare una situazione più o meno verosimile a partire dalla quale ricavare il problema che poi verrà risolto: e in effetti forse è troppo presto per questo. Però far pensare allo scolaro che la geometria adesso – ma anche la matematica in genere – è semplicemente una macchinetta nella quale tu butti dei numeri, selezioni la formula giusta, e tiri fuori il tuo bel risultato è devastante. Un bimbo con un po’ di spirito di osservazione sarà il primo a dire “che ci serve fare i conti? Ci sono le calcolatrici apposta!”, e non gli si può nemmeno dare tutti i torti. Dire che nella pagina web che presenta il testo si trova tra l’altro scritta questa perla:

• Particolare attenzione è stata posta nell’inserire, all’interno delle varie discipline, pagine specifiche “Imparo a studiare” che conducono all’acquisizione di un metodo di studio, evitando in tal modo l’apprendimento meccanico e mnemonico.

Certo, certo. L’apprendimento meccanico e mnemonico è evitato.

Noticina finale: in compenso, il primo problema è irrisolvibile se non conosci il teorema di Pitagora, perché non hai nessun modo per scoprire la lunghezza dei due lati obliqui. Perlomeno i numeri sono corretti :-)