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Il paradosso di Braess

Come certo saprete tutti, ci sono due strade diverse per andare da Paperopoli a Topolinia: una passa per Catsville e l’altra per Dogsburg. Ogni mattina ci sono ben 4000 persone che prendono l’auto per andare da una città all’altra; mentre i tratti Catsville-Topolinia e Paperopoli-Dogsburg sono abbastanza ampi perché il tempo di percorrenza sia sempre di 50 minuti, gli altri due tratti sono intasati, e percorrere ciascuno di essi richiede N/100 minuti, dove N è il numero di auto che impegna il tratto di strada. Ciascun automobilista sceglie naturalmente il percorso che per lui è il più veloce: alla fine la situazione si è stabilizzata, e i paperopolesi si dividono esattamente a metà, 2000 per strada. Il tempo complessivo per il viaggio è quindi di 2000/100 + 50 = 70 minuti per tutti.

Catsville e Dogsburg sono però molto vicine, e così Filo Sganga ha convinto i sindaci delle due città a costruire una nuova strada che le unisca direttamente. Il tempo di percorrenza della nuova strada sarà di soli 5 minuti. Zio Paperone avrebbe voluto costruire lui la strada: ma scoprendo che la commissione era presieduta da Brigitta scappò a gambe levate, e l’appalto fu vinto da Rockerduck. Secondo voi, cosa è successo dopo che la strada è stata completata?

Beh, è semplice: tutti gli automobilisti si sono rimessi a fare i conti sui vari percorsi possibili e hanno scoperto che conveniva loro passare per la nuova strada. Per compiere il percorso Paperopoli-Catsville-Dogsburg occorrono infatti al più 4000/100 + 5 minuti, cioè 45 minuti, mentre la strada diretta Paperopoli-Dogsburg ne richiede 50. Ma allora, se tutti fanno quella strada, il tempo totale per compiere il percorso sarà 4000/100 + 5 + 4000/100 minuti, cioè 85 minuti; insomma, nonostante (anzi, proprio a causa!) della nuova strada. Segue una sollevazione popolare, e Rockerduck è costretto a distruggere la strada… e mangiarsi il solito cappello.

Vabbè, immagino che Giorgio Cavazzano non mi disegnerà mai una storia basandosi su questa trama: peccato. Però la matematica dietro questo racconto è tutta vera, e ha anche un nome: paradosso di Braess, dal nome del matematico tedesco Dietrich Braess che lo discusse per primo. Per capire come funziona effettivamente, occorre però dare alcune spiegazioni, cosa che mi accingo a fare. Innanzitutto, qui entriamo nel campo della teoria dei giochi, una branca che sta a metà tra la matematica e l’economia e che permette anche a qualche matematico di vincere il premio Nobel – anche se poi non è un vero Nobel visto che quello per l’economia è “il Premio della Banca di Svezia per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel”. I “giochi” trattati dalla teoria non sono scacchi, bridge o poker, ma interazioni tra due o più partecipanti che cercano di ottenere il massimo vantaggio da questa interazione; in genere i giochi studiati sono dei modelli molto semplificati di quello che succede nel mondo reale, e da qui si capisce perché c’è di mezzo l’economia e anche perché dalle teorie alla pratica c’è un abisso. Spesso, come capita anche nell’esempio che ho fatto, i giochi sono classificati come non cooperativi: ogni giocatore cerca di massimizzare il suo guadagno, incurante di cosa succeda agli altri. Un po’ insomma come quando si dice che uno ammazzerebbe sua nonna pur di guadagnare qualche soldo in più…

Nei giochi non cooperativi esistono una o più strategie particolari, chiamate equilibri di Nash (quello di A Beatutiful Mind, per intenderci): sono quelle per cui ciascuno dei giocatori non ha alcuna utilità a fare qualcosa di diverso, se gli altri continuano a fare le stesse cose, perché ci perderebbe. Gli equilibri di Nash sono molto importanti, per l’ottima ragione che rispecchiano bene quel che succede in pratica, come sa benissimo chiunque abbia frequentato un’autostrada italiana e no nei momenti di traffico intenso. Nel nostro caso iniziale, l’equa suddivisione dei pendolari è un equilibrio di Nash: se qualcuno cambiasse percorso, il suo tempo di viaggio totale aumenterebbe perché la parte variabile sarebbe percorsa in 2001/100 minuti invece che 2000/100. Il guaio è che anche dopo avere aperto la strada Catsville-Dogsburg la suddivisione “tutti a fare il percorso PCDT” è un equilibrio di Nash, come ho esplicitamente spiegato nel racconto. La soluzione più intelligente per i pendolari sarebbe quella di ignorare la nuova strada e continuare a percorrere le vecchie… ma una soluzione di questo tipo sarebbe cooperativa e quindi non può essere applicata in pratica. Infatti chiunque penserebbe “ma perché devo essere così stupido? se uso la nuova strada in effetti rallento un po’ tutti gli altri, ma io ci guadagno di gran lunga!”

Ci sono altri casi in cui il comportamento egoista alla lunga porta alla disfatta; un esempio che viene spesso fatto è quello delle vaccinazioni. Un vaccino ha sempre una sia pur piccola probabilità di complicazioni, e quindi se una singola persona decide di non vaccinare il proprio figlio il bimbo ha un indubbio vantaggio, perché se tutti gli altri sono vaccinati la malattia non può comunque riuscire a diventare un’epidemia. Però se cominciano a essere in tanti a fare questo “intelligente” ragionamento allora la malattia può diffondersi, e ci perdono tutti. Il caso del paradosso di Braess è però ancora più impressionante, visto che qui si direbbe che si siano semplicemente ampliate le scelte e non sembrerebbe che gli automobilisti operino contro gli altri.

La cosa ancora più interessante è che, almeno a detta di Wikipedia, ci sono stati casi specifici, sia nel caso del traffico stradale che in altri campi come la distribuzione della corrente elettrica, dove il paradosso è stato visto all’opera. Si possono trarre tante conclusioni, allora: un marxiano potrebbe rimarcare che il libero mercato non è che poi sia sempre una panacea, mentre un ambientalista potrebbe avere nuove frecce al suo arco per lottare contro la costruzione di una nuova autostrada. Io mi limito a far notare come la matematica, almeno ogni tanto, possa contribuire a far scovare qualcosa che a prima vista non era così chiaro. Buttatela via…

Addendum: Mattia Monga mi segnala via Twitter questo articolo di Ivar Peterson che mostra un esempio “meccanico” del paradosso di Braess. Per chi non mastica troppo l’inglese, se si taglia il filo che tiene insieme il sistema di molle a sinistra, il peso si alza e non si abbassa. Chi ha una mente più pratica probabilmente riesce ad accorgersi facilmente del motivo: le due molle prima sono in parallelo e poi in serie…