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Cinque bastano

Il primo febbraio Terry Tao ha comunicato sul suo blog di avere pubblicato su arXiv il preprint di un suo articolo, dove dimostra che ogni numero dispari maggiore di 1 è esprimibile come la somma di al più cinque numeri primi. Detto così non sembra una gran cosa: ma questo è un nuovo piccolo passo verso la dimostrazione di uno dei teoremi di teoria dei numeri dall’enunciato semplicissimo ma dalla dimostrazione elusiva, un po’ come l’oramai risolto Ultimo Teorema di Fermat.

Torniamo indietro di quasi tre secoli. È il 7 giugno 1742: il matematico tedesco (prussiano, per la precisione) Christian Goldbach scrive una lettera a Leonhard Euler in cui gli propone le due seguenti congetture:

Se un numero intero può essere scritto come la somma di due primi, allora può essere scritto come la somma di quanti numeri primi si vuole, fino a una quantità pari al numero stesso

Un qualsiasi intero maggiore di 2 può essere scritto come la somma di tre numeri primi

(questa seconda congettura per la precisione venne scritta come nota a margine)

Eulero rispose il 30 giugno, dicendo che la prima congettura di Goldbach poteva essere riscritta nella forma

Ogni intero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi

chiosando in un misto di svizzero-tedesco e latino «Dass … ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe necht demonstriren kann.», cioè «che… ogni numero pari sia la somma di due primi, è un’affermazione che per me è un teorema assolutamente certo, anche se non riesco a dimostrarlo». Beh, non ci è ancora riuscito nessuno, e la terza affermazione oggi è nota come Congettura di Goldbach (“forte”, perché c’è anche la congettura “debole” che afferma che ogni numero dispari maggiore di 7 è esprimibile come somma di tre numeri primi. La congettura forte implica la debole, ma non viceversa)

Un paio di cosette per chi non è così addentro nel gossip matematico. Innanzitutto Goldbach ed Eulero usano la convenzione che 1 è un numero primo (perché “è divisibile solo per sé stesso e per 1”, ed essendo noi tutti matematici chissenefrega che i due casi siano la stessa cosa). Da allora sono cambiate molte cose persino in matematica, e ora 1 non è più considerato numero primo visto che la nuova definizione è “ha esattamente due divisori”: il tutto perché una volta che Gauss ha dimostrato il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica – quello che afferma che ogni numero è fattorizzabile in un unico modo a meno di fattori 1 che si possono aggiungere a piacere – la comunità ha deciso che era più semplice eliminare i fattori 1 a prescindere. La seconda noticina è sulla definizione di Goldbach come matematico: lo era più o meno quanto lo sono io, tanto che la sua fama attuale è semplicemente il riflesso della sua corrispondenza con Eulero ma anche coi Bernoulli. Anche allora scegliersi gli amici giusti era utilissimo!

L’enunciato della congettura è insomma semplicissimo: lo può capire un ragazzo delle medie. La sua dimostrazione no, tanto che non la si è ancora trovata: il risultato di Terry Tao (che poi non è esattamente l’ultimo arrivato, anzi è una Fields Medal il che significa una delle migliori menti del pianeta), anche se è ancora più debole della congettura debole di Goldbach. Beh, a dire il vero il risultato di Tao era già stato dimostrato nel 1995 dal matematico polacco Leszek Kaniecki (così poco noto che non ho neppure trovato una voce su di lui in Wikipedia), ma con l’assunzione ulteriore della validità dell’Ipotesi di Riemann: cosa che quasi tutti i matematici ritengono vera ma che non è anch’essa stata ancora dimostrata. I teoremi dimostrati ammettendo l’Ipotesi di Riemann sono in matematica l’equivalente dei record di atletica leggera ottenuti con troppo vento a favore: li si registra, ma non li si considera più di tanto.

Mi piacerebbe darvi un’idea di base della dimostrazione di Tao, ma mi sono perso alla quinta riga del suo riassunto. Sono solo in grado di dirvi che la strada da lui scelta è abbastanza classica nella teoria dei numeri, anche se incredibile per chi non è avvezzo a queste cose. In pratica, per dimostrare un risultato sui numeri interi si usa l’analisi complessa, calcolando integrali di un circuito (che non sono gli integrali classici). La logica dietro il trucco è semplice: se sappiamo che il risultato deve essere un intero, basta vedere che è abbastanza vicino a un intero e che l’errore possibile è piccolo per ricavare che deve essere quell’intero. La tecnica è stata definita quasi cent’anni fa da Hardy, Littlewood e Ramanujan, e raffinata da Ivan Matveyevich Vinogradov che nel 1937 dimostrò che la congettura debole di Goldbach è vera per tutti i numeri “sufficientemente grandi”. Purtroppo la definizione di “sufficientemente grande” è molto grande: la dimostrazione originale di Vinogradov non dava nemmeno un limite esplicito, ma un suo studente nel 1939 dimostrò che 3^14348907 (un numero di quasi sette milioni di cifre, altro che un googol che ha solo cento cifre!) era “sufficiente”. Al momento il limite è sceso a e³¹⁰⁰, circa 2·10¹³⁴⁶; per darvi un’idea la congettura è stata dimostrata al computer per i numeri fino a circa 10¹⁸, quindi di distanza da fare ce n’è ancora un bel po’.

Si sa anche che la congettura forte di Goldbach è “quasi sempre vera”, nel senso che dato un numero pari qualunque la probabilità che non sia esprimibile come somma di due primi è zero; peccato che con gli insiemi infiniti “probabilità zero” non significa affatto impossibilità e anzi possa corrispondere a un numero infinito di controesempi. Pensate per esempio al fatto che preso un numero reale a caso la probabilità che sia intero è 0… ma di numeri interi ce ne sono eccome!

Immagino che abbiate capito come almeno con le conoscenze attuali nessuno abbia la sia pur minima idea di come ricavare una dimostrazione della congettura: quando l’editore inglese di Zio Petros e la congettura di Goldbach promise un milione di dollari a chi avesse dimostrato la congettura entro un anno dalla pubblicazione del libro, andò abbastanza sul sicuro :-)