Numeri altamente composti
Se mai siete andati a un ristorante e avete deciso di dividere equamente il conto, vi sarà probabilmente capitato di trovarvi magari un conto di 100 euro da dividere in tre con assortiti mugugni (a parte quelli usati nella bistromatica come fonte di energia); ma non credo vi siate mai chiesti perché le cifre tonde non sono mai facilmente suddivisibili. I matematici però sono strana gente, e si sono messi a studiare quali sono i numeri “migliori”: ecco come sono nati i numeri altamente composti.
La definizione tecnica di questi numeri è semplice: un numero altamente composto è tale che qualunque numero minore di esso ha meno divisori. I primi numeri altamente composti sono 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080; la voce di Mathworld al riguardo cita un articolo del 1915 contenente una lista dei primi 102 numeri altamente composti prodotta da un tal Ramanujan (mai sentito nominare?), che però si era dimenticato 293.318.625.600. L’ho sempre detto io, che farsi dare i numeri in sogno ogni tanto può dare dei problemi… Con i calcolatori naturalmente le cose si sono fatte un po’ più semplici, anche se non troppo; in questa pagina di Achim Flammenkamp si possono vedere alcune statistiche su come la successione dei numeri altamente composti cresce, ed è anche possibile scaricare la lista dei primi 124.260 numeri.
Ci sono diverse proprietà dei numeri altamente composti che si possono dimostrare senza difficoltà. La più semplice è che essi sono infiniti; se infatti n è un numero altamente composto, sicuramente 2n ha più fattori di n e quindi siamo certi che tra n e 2n ci sarà un nuovo numero altamente composto. Un’altra proprietà è che se si scompone in fattori un numero altamente composto si otterrà qualcosa del tipo 2a1·3a2·5a3·… dove i numeri primi sono in ordine strettamente crescente senza buchi e i coefficienti a1, a2, a3 … sono in successione non crescente. Se non fosse così basterebbe compattare la lista dei primi, e scambiare di posto i coefficienti, per ottenere un numero con la stessa quantità di fattori ma più piccolo. Per curiosità, 293.318.625.600 si fattorizza come 26·34·52·72·11·13·17·19.
Ci sono anche delle proprietà che sono false ;-) Le due più immediate sono “l’esponente del numero primo più elevato nella fattorizzazione di un numero altamente composto è sempre 1” (ci sono due eccezioni: 4 e 36) e “i fattoriali sono sempre numeri altamente composti”. Questa seconda proprietà è vera solo fino a 7!. In pratica, il guaio dei fattoriali è che hanno troppi fattori piccoli – non per nulla 8!, cioè 40320, non fa già parte della lista. Ricordate come si ottiene il numero di divisori di un intero? A scuola si insegna che bisogna prendere gli esponenti della sua suddivisione in fattori primi, sommare 1 a ciascuno di essi e poi moltiplicarli tra loro. Se ci pensate un attimo, è chiaro che a un certo punto conviene aggiungere un nuovo primo, e quindi raddoppiare il numero di divisori, piuttosto che tanti fattori 2, il cui contributo risulterà minore. La fattorizzazione di 8! è 27·32·5·7 e quindi il suo numero di fattori è 8·3·2·2 = 96; ma già 27720 = 23·32·5·7·11 ha 96 fattori…
Per tutti quelli che si stanno chiedendo a che serve tutto questo, la risposta non è la solita “perché c’è gente che si diverte a vedere queste cose”. Il vantaggio nella vita reale nell’usare questi numeri invece che cifre tonde è quello che ho indicato all’inizio di questo post. Se abbiamo dieci uova, le possiamo solo suddividere in due o cinque parti uguali, a parte le “divisioni” banali in una parte o in dieci parti; con dodici uova possiamo farlo in due, tre, quattro o sei modi, sempre oltre ai due banali. Non è insomma un caso che un tempo si contasse molto per dozzine invece che per decine, oppure che un’ora sia composta di 60 minuti e non di 100. Un tempo mica si girava col telefonino e la sua funzione calcolatrice!
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