Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti
Non di soli numeri naturali vive l’uomo. Leopold Kronecker era sicuramente d’accordo, anzi per lui i numeri interi, essendo opera di Dio, erano forse più importanti ma sicuramente meno interessanti degli altri. E alcuni altri numeri erano già noti ben prima dei greci, anche se sono stati questi ultimi a capire che c’era qualcosa che non funzionava…
Egizi e babilonesi non avevano certo problemi a usare le frazioni; in fin dei conti dividere un sacco di grano in tre parti uguali è un’operazione piuttosto semplice. Beh, gli egizi riuscivano comunque a complicarsi la vita, visto che con l’eccezione di 2/3 loro usavano solamente frazioni del tipo 1/n che infatti sono anche dette frazioni egizie. Peggio ancora, non si poteva usare due volte la stessa frazione: quindi non si poteva scrivere 2/5 = 1/5 + 1/5 ma per esempio 1/4 + 1/10 + 1/20. Abbiamo delle tabelle dove gli scribi egizi mostravano la scomposizione delle frazioni della forma 2/n per decine di valori di n. Forse il tutto aveva un significato mistico: i geroglifici per le frazioni 1/2, 1/4, 1/8, … 1/64 sono varie parti dell’occhio del dio Horus (I am the maker of rules, se preferite). Sì, ne manca un pezzo per completarlo, ma si sa che quando si smonta e si rimonta qualcosa i conti non tornano mai… Per i babilonesi le cose erano molto più semplici, ricordandosi che loro lavoravano in base 60; la parte più interessante è che nelle loro tavolette di argilla si possono notare approssimazioni di frazioni scritte per l’appunto in base 60.
I greci, con il loro approccio geometrico all’aritmetica, non avevano certo problemi a costruire un segmento lungo m/n volte un segmento unitario; insomma i numeri razionali – ah, la parola non significa che si comportano in maniera logica e ragionevole, ma semplicemente che sono dati da un rapporto, anche se ormai sapete che la storia è un po’ più complicata di come la sto facendo io ora. Ma proprio i greci sono rimasti sconcertati quando hanno scoperto che la diagonale del quadrato di lato unitario non era esprimibile sotto forma di frazione, come ho già raccontato.
Fortunatamente i numeri esprimibili come risultato dell’operazione di estrazione di radice di un numero positivo si comportano in maniera civile, almeno se ci si limita a usare il risultato positivo che si ottiene; pertanto li si poteva usare nelle operazioni aritmetiche come se fossero numeri qualunque. Certo, forse non funzionavano proprio così bene, tanto che il termine irrazionale ha un significato ben preciso nella vita di tutti i giorni, ma ci si poteva accontentare. Lo choc è arrivato quando si è cominciato a intuire che c’erano dei numeri che non potevano ricavarsi come risultato di un’equazione, di grado qualsivoglia, con coefficienti interi. Non che questo sia arrivato così presto: i primi esempi di quelli che sono stati chiamati numeri trascendenti furono creati appositamente da Joseph Liouville nel 1844, ed vennero accuratamente costruiti: insomma sembravano più che altro delle bestie da circo, a differenza dei più potabili numeri algebrici che sono quelli indicati sopra e che sono risultati di un’equazione algebrica standard. Il primo numero “usuale” che si dimostrò essere trascendente è stato e nel 1873 da Charles Hermite, e nove anni dopo Ferdinand von Lindemann adattò la dimostrazione per mostrare che anche π è trascendente. Ma tanto il terremoto c’era già stato: è nel 1874 infatti che Cantor aveva mostrato come preso un numero reale a caso esso è quasi certamente trascendente. Uno dei tanti risultati spiazzanti trovati nei Cent’Anni di Crisi della Matematica, dalla scoperta delle geometrie non euclidee ai teoremi di Gödel e Turing.
Ma la storia non è certo finita qui! Ci sono numeri ancora peggiori, almeno come nome…
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