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Il teorema che Fermat sbagliò

Generalmente le affermazioni matematiche di Pierre de Fermat si sono rivelate esatte, anche se nel caso del suo Ultimo Teorema ci sono voluti tre secoli per avere una dimostrazione che non solo non sarebbe potuta essere scritta nei margini della sua copia dell’Aritmetica di Diofanto ma richiede molta più matematica di quanta fosse nota ai suoi tempi. Ma c’è un caso in cui si è sbagliato del tutto! Il grande “matematico dilettante” francese asserì infatti che i numeri della forma 2²ⁿ+1, che nel seguito indicherò come F_n per comodità, sono tutti primi. A onor del vero, Fermat non scrisse mai di avere una dimostrazione di quel fatto, ma si limitò a fare una congettura; resta il fatto che tale congettura non poteva essere più sbagliata! Ma andiamo con ordine.

Ancora oggi, scomporre in fattori primi un numero non è un compito agevole se il numero è molto grande, tanto che i moderni algoritmi di crittografia sfruttano proprio questa impossibilità pratica. Ai tempi di Fermat non è che la situazione fosse migliore, anzi: quando il calcolatore era una persona che lavorava con carta e penna è facile immaginare come già fattorizzare un numero dell’ordine del miliardo era un compito improbo, soprattutto se si temeva che quel numero fosse primo. In effetti i primi “numeri di Fermat”, come sono spesso noti, sono primi: F₀ = 2²⁰+1 = 2¹+1 è uguale a 3, F₁ = 2²¹+1 = 2²+1 è 5, F₂ = 2²²+1 = 2⁴+1 è 17, F₃ = 2²³+1 = 2⁸+1 è 257, F₄ = 2²⁴+1 = 2¹⁶+1 è 65537. Ma F₅, cioè 2²⁵+1 = 2³²+1 = 4.294.967.297 era davvero grande per l’epoca, e non stiamo nemmeno a vedere i successivi, visto che F₆ è un numero di venti cifre e il numero di cifre degli F_n raddoppia a ogni nuovo elemento. Insomma, non veniva chissà quale voglia di mettersi a testa bassa a fare divisione dopo divisione per vedere se prima o poi si sarebbe ottenuto un quoziente esatto; è vero che Galileo aveva già demolito il concetto classico di scienza «Se l’ha detto Aristotele allora è vero» passando al metodo sperimentale, ma è anche vero che ci sono esperimenti ed esperimenti, e di Fermat ci si fidava per non fare troppa fatica.

Poi è arrivato Eulero, che tra l’altro inizialmente non era nemmeno così interessato alla teoria dei numeri: a spingerlo a lavorare in quel campo è stato Christian Goldbach – quello della congettura omonima, sì – che invece era un convinto fan, pur non sapendo spesso da che parte iniziare per dimostrare un teorema. In pratica, come affermò il grande matematico del secolo scorso Andre Weil, si può quasi dire che buona parte delle opere di Eulero nella teoria dei numeri consistono nella dimostrazione dei teoremi che Fermat aveva semplicemente enunciato. Dimostrazione o refutazione, come in questo caso: nel 1732 egli fece infatti notare come F₅ sia il prodotto di 641 per 6.700.417 (che è un numero primo, per la cronaca). Eulero era molto bravo a fare i conti, ma era anche molto bravo a trovare delle scorciatoie per farne il minor numero possibile; in fondo a questo post – per non spaventare i meno inclini a vedere formule, anche se basta avere fatto i primi anni delle superiori per poter seguire il procedimento – vi spiego come ha fatto.

Prima di passare alla dimostrazione, però, voglio ancora raccontare due cose al proposito. Nei quasi quattro secoli dopo Eulero le tecniche di fattorizzazione si sono affinate e soprattutto sono arrivati i calcolatori: è stato così possibile studiare nuovi numeri di Fermat. Si è scoperto che F₆ è divisibile per 274.177; nel 1905 si è dimostrato che F₇ era composto, anche se non se ne conoscevano ancora i fattori – e ci credo: solo nel 1971 si arrivò a trovare il più piccolo dei suoi fattori, che è un numero di “sole” 17 cifre. A oggi, secondo Wikipedia, sono stati fattorizzati completamente solo i numeri di Fermat fino a F₁₁, oltre a risultati abbastanza incredibili come quello che afferma che F_2.478.782 ha un fattore primo di 746.190 cifre; si sa che tutti i numeri di Fermat fino a F₃₂ non sono primi e ad ogni modo non si conosce nessun altro numero di Fermat primo. Capite perché dicevo che la congettura di Fermat è al momento quanto di più errato possibile?

La seconda curiosità è geometrica. Forse ricordate dai tempi di scuola che data una circonferenza è possibile costruire con riga e compasso alcuni particolari poligoni regolari, come triangolo, quadrato, pentagono, esagono, mentre per altri poligoni come l’eptagono (il poligono di sette lati) o l’ennagono (nove lati) esistono solo costruzioni approssimate. I greci avevano dimostrato come costruire tutti i poligoni con un numero di lati i cui fattori fossero solo 2 (quanti ne vogliamo), 3 (al massimo una volta) e 5 (anch’esso al massimo una volta). La situazione restò immutata fino al 1796, quando un giovane non ancora ventenne costruì con riga e compasso l’eptadecagono regolare, il poligono di 17 lati, e dimostrò quali erano tutti e soli i poligoni regolari costruibili con riga e compasso. Il giovane era Carl Friederich Gauss, insomma non esattamente l’ultimo arrivato; ma la cosa più incredibile è che i fattori primi dispari permessi per il numero di lati (come dicevo sopra, ci possono essere quanti fattori 2 vogliamo: a bisecare un angolo sono capaci tutti) sono precisamente i numeri di Fermat primi. Non che qualcuno si sia mai messo a costruire un 65537–agono, anche perché partendo da una circonferenza di raggio un metro il suo lato sarebbe lungo circa un decimo di millimetro (lo sapevate calcolare anche voi, vero?); ma sicuramente, anche se si trovasse un nuovo numero di Fermat primo, sarebbe così enorme che anche con una circonferenza grande come tutto l’universo il lato del poligono regolare corrispondente sarebbe molto, molto, molto minore della più piccola distanza concepibile nell’universo stesso. Insomma, la teoria e la pratica divergerebbero davvero!

E ora, come promesso, lo schema della dimostrazione di Eulero, come raccontata nel libro Journey through Genius di William Dunham: libro assolutamente consigliato, tra l’altro. Innanzitutto un Teorema A che sapete sicuramente risolvere da soli: se a è un numero pari e p un primo che non divide a ma divide a+1, allora p è della forma 2k+1. Vero che non devo dimostrarvelo?

Ora iniziamo le cose un po’ più difficili, con il Teorema B: se a è un numero pari e p un primo che non divide a ma divide a²+1, allora p è della forma 4k+1. Come dimostrarlo? Beh, se a è pari, lo è anche a², e quindi per il Teorema A il nostro p è della forma 2k+1. È già un inizio: però i numeri 2k+1 possono essere della forma 4k+1 oppure 4k+3. Supponiamo che sia di quest’ultima forma, e cerchiamo una contraddizione. Visto che p non divide a, il piccolo teorema di Fermat afferma che a^p−1 è congruo a 1 modulo p, cioè che p divide a^p−1−1 e cioè a^4k+2−1. Ma per ipotesi p divide a²+1 e quindi dividerà

(a²+1)(a^4k − a^4k−2 + a^4k−4 − … + a⁴ − a² + 1)

che se si ha la costanza di fare il prodotto vale a^4k+2+1. Pertanto dividerà anche la differenza

(a^4k+2+1) − (a^4k+2−1) = 2

Oops… ma p è un primo dispari. Come fa a dividere 2? La nostra ipotesi per assurdo è falsa, e quindi il Teorema B è dimostrato.

Passiamo ora al Teorema C, che afferma che se a è un numero pari e p un primo che non divide a ma divide a⁴+1, allora p è della forma 8k+1. Vi ricorda qualcosa? La dimostrazione è simile a quella del Teorema B: si vede subito che p può solo essere della forma 8k+1 oppure 8k+5, e in questo secondo caso si usa il piccolo teorema di Fermat e un prodotto notevole per arrivare a una contraddizione. Lasciatemi evitare di andare avanti con le lettere dell’alfabeto appiccicate ai teoremi: dovrebbe essere chiaro che se a è un numero pari e p un primo che non divide a ma divide a²ⁿ+1, allora p è della forma 2ⁿ⁺¹k+1.

Toh. Allora i divisori primi di 2³²+1 devono essere della forma 64k+1. Cominciando con k=1 ed eliminando i numeri non primi (come per esempio 64+1=65) si scopre che Eulero dovette testare solo cinque numeri prima di trovare il fattore giusto: 193, 257, 449, 577 e appunto 641. Molto meno lavoro di quanto si potesse temere!

Non so voi, ma questa dimostrazione mi ha lasciato di stucco. Seguirla non è per nulla difficile, l’unico punto di una certa qual complicazione è conoscere il piccolo teorema di Fermat (ah, l’ironica sorte! È Fermat stesso a sconfessare Fermat). Però sfido chiunque a osare affermare che ci sarebbe arrivato da solo. D’altra parte, Eulero è ben Eulero, no? Ad ogni modo, vi confesso che è anche per cose come queste che la matematica mi appassiona; molti ci vedranno solo aridi conti, per me è un meccanismo a orologeria dove tutti i tasselli vanno al loro posto, proprio come in un giallo di Agatha Christie.