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I numeri di Münchhausen

Avete mai letto le avventure del Barone di Münchhausen? A quanto pare il barone è veramente esistito, e aveva davvero l’abitudine di spararle grosse: un po’ come il personaggio Topper del fumetto Dilbert oppure, per chi si ricorda Carosello, il marinaio Trinchetto (“Cala, Trinchetto!” era un tormentone degli anni ’60, solo che non si sapeva che quelle cose si chiamassero tormentoni…) Bene, sappiate che esistono anche i numeri di Münchhausen!

La definizione di numero di Münchhausen è piuttosto strana: se un numero è tale che elevando ciascuna delle cifre che lo compongono a sé stessa e sommando i valori ottenuti si ottiene il numero stesso, allora il numero è di Münchhausen. Facciamo un esempio pratico, e prendiamo il numero 3435. L’operazione che dobbiamo fare è pertanto 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵, cioè 27+256+27+3125 che fa proprio 3435. Più facile a farsi che a dirsi, almeno se uno ha a portata di mano una calcolatrice.

Abbiamo quindi un numero di Münchhausen in base dieci (naturalmente se lavoriamo in un’altra base numerica le cose cambiano, ma per il momento non addentriamoci in queste questioni). Un altro numero di Münchhausen è indubbiamente 1, visto che 1¹ = 1. E poi? E poi basta. Non si conoscono altri numeri di Münchhausen. L’unico risultato di cui io sia a conoscenza – e non andate a verificare su Wikipedia: ho appena finito di ampliare un po’ quella povera voce, che però esisteva già anche in italiano da ben una settimana… – è un articolo su arXiv che afferma che in una qualunque base i numeri di Münchhausen sono in numero finito. Già qualcosa, ve lo assicuro: in questi campi o le dimostrazioni sono banali o sono virtualmente impossibili.

C’è qualcuno che però bara, e cerca altri numeri di Münchhausen (o come dicono gli anglofoni PDDI, perfect digit-to-digit invariant) usando la bieca convenzione per cui 0⁰ = 0. Se siete appassionati di matematica – e se non lo siete, perché mi state leggendo? – sapete che 0⁰ non è definito; e se anche lo fosse, almeno in un contesto come questo dove tecnicamente stiamo parlando di x^x il suo valore dovrebbe essere definito pari a 1 e non zero. Ma anche nel mondo della matematica si cerca il doping… Detto questo, dovrebbe risultare immediato che anche 0 sarebbe un numero di Münchhausen, in una qualunque base: e possiamo trovare un quarto numero, per la precisione 438579088. Fatevi voi i conti se non ci credete.

Naturalmente anche questi numeri non possono mancare nell’Online Encyclopedia of Integer Sequences: qui trovate tutti i numeri di Münchhausen nelle basi da 2 a 10 e qui la lista molto breve coi numeri mostrati sopra, tutti e quattro perché come appunto dicevo non ci si fa mancare nulla.

Se siete arrivati fin qua e vi state chiedendo perché mai questi numeri si chiamino così, la risposta è “boh?” Probabilmente perché fanno di tutto per sembrare interessanti, ma in fondo in fondo non è che lo siano così tanto!