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Fullerene

Come ha ricordato la Mucca di Schrödinger, sabato scorso Google ha modificato il proprio logo, come gli capita spesso di fare per ricordare qualche anniversario. Stavolta c’era una palla arancione che diventava una specie di pallone da calcio stilizzato che poteva essere ruotato a piacere. Il logo però non celebrava l’inizio dei campionati nazionali di calcio, ma i venticinque anni dalla scoperta della molecola del fullerene. Di fullereni ce ne sono però tanti… e tutto per colpa delle regole di geometria solida!

Innanzitutto ricordo che generalmente quando si parla di fullerene si intende una molecola di carbonio in cui gli atomi sono disposti in maniera particolare, in modo da formare una struttura cava all’interno; l’esempio più famoso è la molecola C₆₀, quella appunto a forma di pallone da calcio la cui struttura è formata da dodici pentagoni e venti esagoni e il cui nome completo è buckminsterfullerene, dal nome dell’architetto Richard Buckminster “Bucky” Fuller che è noto per aver introdotto strutture di questo tipo per creare delle cupole leggere e resistenti. Il buckminsterfullerene è la versione molecolare più facile da trovare anche in natura; i chimici sono però riusciti a costruire anche altri tipi di molecole con lo stesso tipo di struttura, e se vogliamo anche i nanotubi sono comunque dei fullereni derivati. Se volete saperne di più, come sempre potete partire da Wikipedia.

Ma la struttura reticolare dei fullereni è piuttosto interessante anche da un punto di vista matematico, che è poi quello che mi interessa in questa sede. Forse sapete che, mentre ci sono infiniti poligoni regolari – quelli con tutti i lati e gli angoli uguali – i poliedri regolari sono solo cinque: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Soprattutto, non esiste nessun poliedro regolare composto da esagoni. La ragione è molto semplice: per fare un poliedro si parte da un vertice e bisogna metterci almeno tre poligoni. Ma gli angoli di un esagono regolare sono di 120 gradi: questo significa che con tre esagoni abbiamo riempito il piano e non abbiamo spazio per “alzare” il vertice, come avviene ad esempio con i pentagoni, ottenendo il dodecaedro. Ma questo svantaggio porta a un vantaggio se non siamo interessati ad avere un poliedro regolare! Infatti partendo dal dodecaedro in cui in ciascun vertice concorrono esattamente tre pentagoni è possibile aggiungere qua e là degli esagoni, che come abbiamo visto non “piegano lo spazio”, e tirare fuori un nuovo solido un po’ meno spigoloso del dodecaedro, che può andare abbastanza bene come dado per giocare a D&D ma non per dare quattro calci al pallone.

Il buckminsterfullerene è il più regolare di questi solidi; è infatti uno dei tredici solidi archimedei e può essere anche chiamato icosaedro troncato, visto che lo si può ottenere tagliando via i dodici vertici dell’icosaedro facendo i conti abbastanza bene che i venti esagoni rimanenti e i dodici pentagoni testè creati abbiano gli spigoli tutti congruenti. Nella figura qui a fianco, tratta dalla voce Fullerene di Mathworld, vediamo alcuni esempi di grafi corrispondenti ad alcuni fullereni; in pratica si è tolta loro una faccia e li si è spianati. Qualcuno potrebbe stupirsi di vedere anche il dodecaedro, che di esagoni non ne ha, lì in mezzo; è solo l’ennesimo esempio di come l’insieme vuoto non dia nessun problema ai matematici, e anzi venga sempre tenuto in gran conto. Zero esagoni sono “un certo numero di esagoni”, insomma; la cosa più divertente, se volete, è che possiamo ottenere fullereni con un numero pari qualunque di vertici oltre i venti originari del dodecaedro (zero è un numero pari, sì), eccetto due. Detto in altro modo, non c’è nessun fullerene con 22 vertici. Il numero di poliedri possibili cresce molto velocemente con il numero di vertici, ma naturalmente quasi tutti quelli che si ottengono sono deformi e quindi non certo belli da vedersi; ecco perché nessuno ne parla mai.

Un’ultima osservazione, chimica e non matematica: se vi siete chiesti com’è possibile che il carbonio, che ha valenza 4, possa formare una struttura dove tutti i vertici hanno solo tre spigoli concorrenti la risposta è semplice. Gli spigoli in comune con due esagoni hanno un legame doppio, mentre quelli che uniscono un esagono e un pentagono ce l’hanno singolo. Anche stavolta, insomma, la matematica corre in aiuto del mondo reale… o è il viceversa?