Quadrato (?) nel cubo
Proporre un problema matematico – peggio, di geometria! – a fine giugno si direbbe un’inutile tortura. Il problema in questione, però, è interessante perché può essere risolto in maniera pedestre, se non addirittura erronea, se non lo si considera attentamente. Volete cimentarvici?
Nel cubo qui a destra in figura – che non è disegnato in scala! – i vertici A e G sono diagonalmente opposti, mentre I e J sono i punti di mezzo degli spigoli EH e BC. Il volume del cubo è 64 centimetri cubi. Qual è l’area del quadrilatero AJGI?
Il quadrilatero sembra un rettangolo, ma come ho detto il disegno non è stato fatto in scala apposta per confondere le idee. La seconda cosa da ricordare è che usare troppe volte il teorema di Pitagora permette sicuramente di risolvere il problema, ma come ben sapete potrebbe nuocere gravemente alla salute. Come aiutino finale – ma non disperate, lunedì aggiornerò il post con la soluzione! – vi consiglio di chiedervi che razza di triangolo è AJI; la cosa potrebbe aiutarvi anzichenò.
Segnalo infine che ho scopiazzato il problema da SAT Math Blog, un nuovo blog di un vecchio amante della divulgazione matematica. Se siete davvero bloccati, qualche aiutino ve lo dà anche lui :-)
Soluzione:
Innanzitutto il quadrilatero AJGI è effettivamente un quadrilatero, nel senso che sta tutto in un piano: infatti le due diagonali AG e IJ si incontrano nel centro del cubo. I suoi quattro lati sono indubbiamente uguali; ma non è un quadrato bensì un rombo! Per accorgersene, basta vedere quanto sono lunghe le diagonali. AG, essendo la diagonale del cubo, è pari a √3 l, dove l è il lato del cubo; IJ è invece uguale alla diagonale di una faccia del cubo e quindi è lungo √2 l. L’area di un rombo è pari alla metà del prodotto delle diagonali (se non ci credete, disegnate le parallele alle diagonali nei vertici e vedrete uscir fuori un rettangolo), quindi la sua area sarà (√6 l 2)/2, nel nostro caso pari a √20 cm2.
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