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Passeggiate casuali

È venerdì notte, praticamente sabato mattina. Siete certi di non avere affatto bevuto un po’ troppo. Solo che non capite bene come mai vi trovate su una passerella del molo, una passerella tra l’altro piuttosto stretta che vi permette di andare solo avanti o indietro. Vi incamminate verso la terraferma, ma siete così obnubilati che a ogni passo potete indifferentemente avanzare o tornare indietro. Ce la farete a raggiungere la terraferma, farete un bagno non molto salutare ma che almeno vi rinfrescherà un po’ le idee, oppure rimarrete a passeggiare su e giù finché non vi passerà la sbornia?

La marcia dell’ubriaco è un esempio tipico di passeggiata casuale monodimensionale. In maniera meno cruenta la si può ottenere lanciando una moneta equa, segnando +1 tutte le volte che esce testa e -1 quando invece esce croce, e vedendo la successione di somme parziali che appare. Nel disegno qui a fianco vediamo un possibile risultato dell’esperimento dipanato nel tempo; l’asse orizzontale indica appunto il tempo trascorso, mentre quello verticale mostra la posizione in cui ci si trova nei vari istanti. Per ovvie ragioni di simmetria (come dicono sempre i fisici) capiamo subito che lo spostamento medio dall’origine dopo un certo numero di lanci è nullo, il che è la stessa cosa che dire che in un gioco equo in media non si vince né si perde nulla. Se però consideriamo la distanza media dall’origine, le cose cambiano eccome. Il teorema del limite centrale afferma infatti che dopo n lanci essa è √n. Anche se la cosa sembra paradossale, non lo è affatto; lo spostamento è una media tra i casi in cui si è andati in una direzione e quelli in cui si è scelta quella opposta, ma per calcolare la distanza si deve invece prendere il valore assoluto dello scostamento, che per definizione è sempre positivo.

Questo risultato porta a un paio di corollari molto interessanti. Innanzitutto, se si ha sufficiente tempo a disposizione, si possono toccare tutti i punti (discreti, quelli corrispondenti ai numeri interi) della retta che si sta percorrendo; anzi, li si toccherà tutti un numero infinito di volte. Ma questo significa anche che giocando al casinò un gioco perfettamente equo abbastanza a lungo – non che ce ne siano, ma non sottilizziamo – finiremo quasi certamente al verde! Infatti il nostro capitale iniziale è molto inferiore a quello del banco, e quindi è molto probabile che ci capiterà di arrivare prima al punto in cui abbiamo perso tutto il nostro capitale – e quindi la possibilità di continuare a giocare – rispetto a quello in cui è il banco a saltare.

Cosa succede quando si passa a più dimensioni, immaginando che gli spostamenti possano essere solo ortogonali (oltre che avanti/indietro si possa fare sinistra/destra, alto/basso, o chissà dove nella quarta dimensione; ma dirigersi a nord-ovest è vietato)? Il percorso del nostro ubriaco diventa naturalmente molto più variegato; se il passo è molto piccolo assomiglia a un moto browniano, o se siete dei tipi più artistici a un movimento frattale, soprattutto nel caso tridimensionale. La figura qui a destra, tratta da Wikipedia, mostra un esempio di passeggiata casuale in due dimensioni. La cosa divertente è che nel caso del piano si è ancora “praticamente certi” (nel senso probabilistico, la probabilità è cioè 1) di tornare prima o poi all’origine, ma passando a tre dimensioni la cosa cambia completamente, e si tornerà all’origine circa una volta ogni tre (il 34,05%, per i pignoli). Detto in altro modo, E.T. aveva tutti i diritti di essersi perso nello spazio, mentre quando uno perde di vista l’amico in un centro commerciale e non ha il telefonino la soluzione migliore per ritrovarsi non è lanciarsi alla caccia ma stare tranquillo ad aspettare che sia l’altro a trovarvi… sempre ammesso che il vostro compagno non abbia letto questo articolo e non intenda seguire la stessa strategia.