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Per amor di precisione

C’è una vecchia barzelletta su un custode in un museo di paleontologia che mostra con orgoglio il reperto più importante, affermando “È vecchio di tre milioni e quattro anni!” Un giorno un visitatore gli chiede come fa ad essere così preciso sulla sua datazione, e lui risponde “Semplicissimo: io lavoro qua da quattro anni, e quando sono arrivato il reperto aveva tre milioni di anni…”

Spero che la battuta vi abbia almeno fatto sorridere; ma quello che ci sta dietro è una cosa molto seria. Mettiamola così: la matematica è la quintessenza della precisione, ma non è affatto detto che la precisione serva sempre, o addirittura non sia perniciosa. Ci sono indubbiamente moltissimi casi in cui la precisione è d’obbligo, per esempio quando si redige il bilancio di un’azienda; evitate di fare come me, che al rogito per comprare la casa mi sono accorto che avevo sbagliato a fare i conti e sommando l’importo dei vari bonifici e assegni circolari mancavano dieci euro per la somma pattuita. (Per la cronaca, nel rogito è indicato che dieci euro sono stati pagati in contanti). La maggior parte delle volte, però, possiamo tranquillamente fare a meno di portarci in giro tutte quelle cifre, limitandoci a mantenere quelle che sono davvero importanti.

Capire quali sono le cifre davvero importanti in uno specifico contesto non è una cosa automatica, il che vuol dire in pratica che noi siamo più bravi dei computer a fare queste cose: ma naturalmente dobbiamo prima capire cosa dobbiamo fare, e come spesso capita ci occorre un po’ di terminologia. I matematici hanno una parola per (quasi) tutto, e in questo caso ci sono addirittura due espressioni che fanno al nostro caso: numero di cifre significative e ordine di grandezza.

Il concetto di cifre significative non nasce dalla matematica ma dalla fisica: quando si fa una misurazione sono le cifre di cui possiamo essere certi. Per fare un esempio banale, prendiamo un righello e misuriamo la lunghezza di una busta. Sicuramente possiamo dire ad esempio che la lunghezza è di 15 centimetri, 4 millimetri e un pezzetto; possiamo anche stimare che il pezzetto misuri 6 decimi di millimetro, o 61 centesimi di millimetro, ma non ne siamo certi. Dunque anche se scriviamo che la nostra busta è lunga 15,461 centimetri in realtà solo le prime tre cifre hanno senso, e cioè sono significative.

L’ordine di grandezza è un po’ più ostico, ma lo potete visualizzare con una calcolatrice elettronica, purché abbia la notazione scientifica. Se il display della calcolatrice ha otto cifre e voi moltiplicate 4000000 per sé stesso, il risultato che vedrete sul display sarà 1.6E13, che è un’abbreviazione per 1,6*10¹³. Bene: l’ordine di grandezza del risultato è 10¹³. In un certo senso indicare l’ordine di grandezza può essere visto come l’usare zero cifre significative: non mi importa più quali cifre ci siano, ma solo quante ce ne sono.

Bene: quando si usa l’ordine di grandezza? Quante sono le cifre significative da usare? La risposta più precisa è “dipende”. Sicuramente non potete usare più cifre significative di quante ne potete misurare, come nell’esempio sopra. Se state facendo una misurazione ufficiale, metterete tutte le cifre possibili, e probabilmente indicherete anche l’errore che può esserci; o con un simbolo +/- e l’errore massimo, oppure come fanno i fisici che dicono per esempio che la massa a riposo di un elettrone è 9,109 382 6(16)·10^-31 kg. Le cifre tra parentesi sono quelle di cui non si è certi. Ma in genere vi conviene arrotondare a una cifra più tonda, tenendovi una o due, massimo tre, cifre di precisione. L’equatore terrestre per esempio è lungo 40075,0 km; notate tra l’altro che il “virgola 0” che ci dice che le cifre significative sono 6 e che è solo un caso che l’ultima sia uno zero. Ma in pratica dire 40000 km è più che sufficiente! L’ordine di grandezza invece si usa nel caso si debbano fare dei conti spannometrici. Se vogliamo stimare il numero di chilometri percorsi a piedi in un anno dagli italiani, non vale la pena assumere che i nostri concittadini sono 60 milioni (due cifre significative); fare i conti con 10⁸ (100 milioni) è più che sufficiente.

Spero di non avervi reso ancora più confusi: il modo migliore di capire come usare le approssimazioni è metterle in pratica. Dopo un po’ di allenamento, potreste stupire i vostri amici sciorinando stime su stime!