Monthly Archives: April 2018

L’obsolescenza della matematica

“Tutti i metodi matematici che ho studiato all’università sono diventati obsoleti nel corso della mia carriera”. Non lo dico io, che di carriera non ne ho fatta, ma il noto matematico e divulgatore britannico (anche se vive negli USA e insegna a Stanford) Keith Devlin. Ne parla in questo articolo, oltre che nel suo blog. La figura qui sotto mostra quali sono gli attuali strumenti che Devlin usa per risolvere un problema matematico, o più precisamente usare la matematica per risolvere un problema matematico: insomma nulla a che fare con i problemi matematici che di solito danno a scuola, come per esempio “quali sono le radici dell’equazione x²+4x−5=0?”.

Ora che vi ho fatto saltare sulla sedia, posso entrare più nel dettaglio e raccontarvi cosa dice davvero Devlin (che è della classe 1947, per la cronaca, quindi non proprio un giovincello). Quando si laureò nel 1968 aveva imparato tutti i “ferri del mestiere” dei matematici: un arsenale di strumenti che erano stati sviluppati nei millenni per risolvere i problemi che man mano arrivavano loro. In pratica, una conoscenza procedurale: “se devo risolvere questo problema, devo fare così e cosà”. Un po’ come quello che si fa di solito a scuola. L’idea di Devlin (e di tutti gli altri, a dire il vero) era che nei decenni successivi si sarebbe potuto ideare qualche altro strumento, ma la strada era quella. E in effetti per buona parte della sua carriera Devlin ha sfruttato i suoi ferri del mestiere.

Solo che poi è successo qualcosa di inaspettato. Il primo scossone è stato dato dalla diffusione a partire dalla fine degli anni ’60 delle calcolatrici elettroniche. Certo, per fare i conti prima si poteva usare un regolo calcolatore, ma i risultati erano molto approssimati. Ora non servivano più tutte le tecniche per fare i conti a mente. Il secondo scossone dipende dai personal computer. Gli spreadsheet permettono di fare rapide simulazioni senza bisogno di imparare a programmare; ma i computer sono diventati sempre più bravi anche con il calcolo simbolico, fino ad arrivare a Mathematica che al prezzo di 160 euro più Iva l’anno (edizione personale, uno studente paga meno della metà) ti fa tutti i conti anche formali per risolvere un problema specificato abbastanza bene. Se serve giusto risolvere un problema ogni tanto puoi anche andare su Wolfram Alpha e fargli fare i conti. In pratica, tutta la matematica procedurale sviluppata con tanta fatica a partire dagli assiro-babilonesi è ormai demandabile al computer. Che resta allora da fare a un matematico?

Tantissimo. La differenza è che sono cose diverse da quelle del passato. Un po’ di conoscenza procedurale serve sempre, ma solo perché rende più facile comprendere come funzionano le procedure, e quindi ci dà la possibilità di sfruttare i computer perché riusciamo a dirgli esattamente cosa vogliamo. I conti se li faccia lui, l’hanno costruito apposta. Quello che secondo Devlin è fondamentale nel ventunesimo secolo – per tutti, non solo per chi voglia dedicarsi alle materie scientifiche, le cosiddette STEM – è un senso matematico (“number sense” nell’originale), qualcosa che non ha nulla a che fare con la precisione a cui siamo abituati a pensare quando si parla di matematica. Noi esseri umani non siamo bravi a fare i conti, ma rispetto ai computer possiamo capire cosa vogliamo, e avere un’idea di quale può essere il risultato che cerchiamo. Ci penseranno poi i calcolatori elettronici a verificarlo; ma come dicevo sopra, per far verificare un risultato da un computer bisogna saperglielo spiegare bene.

Devlin è favorevole al cosiddetto Common Core, l’insieme delle nozioni che dovrebbero essere conosciute dagli studenti americani, proprio perché va in questa direzione. Il problema è che un lavoro che passi dalla proceduralità alla creazione di un senso matematico non è per nulla facile, senza contare che ci sono anche dei problemi a misurarlo: un conto è vedere se gli esercizi propinati hanno la risposta corretta, controllando al più che lo studente non abbia nascosto uno smartphone a cui dare in pasto il testo; altra cosa è per esempio assegnare problemi reali e soprattutto aiutare i ragazzi a trovare le strade possibili per arrivare a una soluzione. Devlin, che qualche mese fa ha tenuto un minicorso in una scuola per ragazzi sopra la media, ha chiesto loro di stimare qual è l’algoritmo che UPS ha usato per spedire i pacchi con il materiale didattico dal suo ufficio a lì; ma è chiaro che quell’approccio non è scalabile.

Quello che tutti noi possiamo fare è però cominciare a pensare ogni tanto in modo matematico: aprile, oltre che il mese più crudele come diceva Eliot, è anche il mese della consapevolezza matematica (niente battute sulla possibile correlazione, grazie) e quindi è il momento giusto. In fin dei conti molti degli strumenti di Devlin, da Quora a Wikipedia, da Math Exchange a Linkedin, sono legati alla collaborazione. Non è più il tempo in cui i matematici lavoravano fondamentalmente da soli: ormai la collaborazione è indispensabile, non foss’altro che per evitare di rifare il lavoro di qualcun altro. Se ho un problema e c’è chi l’ha già risolto, o almeno ne ha risolto uno simile, perché non posso sfruttare il suo lavoro? Certo, prima devo capirlo, e quindi torniamo al punto di partenza…

Risposte ai problemini per Pasqua 2018

Ecco le risposte ai problemini, che erano tratti dalla Olimpiada Matemática Española (anno 1993)

1. L’invasione dei cloni
Se in ogni gruppo di sei persone due hanno la stessa età, per il principio dei cassetti ci possono essere al massimo cinque età differenti. A questo punto ci possono essere al più 50 triplette distinte (nazionalità, età, sesso); poiché 201=50×4+1, a una di queste triplette devono essere associate almeno cinque persone, sempre per il principio dei cassetti.

2. Spazio 1999
Scriviamo gli elementi della prima riga come a0, a1, a2, a3, …
La seconda riga avrà allora a0+a1, a1+a2, a2+a3, a3+a4, …
La terza riga avrà a0+2a1+a2, a1+2a2+a3, a2+2a3+a4, a3+2a4+a5, …
La quarta riga avrà a1+3a2+3a3+a4, a2+3a3+3a4+a5, a3+3a4+3a5+a6, …
Si può dimostrare facilmente per induzione che il primo elemento della riga k+1 sarà
B(k,0)a0 + B(k,1)a1 + … + B(k,k)ak, dove B(m,n) è il coefficiente binomiale e vale m!/m!m−n!. L’unico elemento della riga 2000 del nostro triangolo varrà
B(1999,0)×0 + B(1999,1)×1 + B(1999,2)×2 + … + B(1999,1999)×1999. Ma poiché 1999 è un numero primo, tutti i coefficienti binomiali devono essere suoi multipli e quindi anche la somma di tutti quegli addendi lo è.

3. Uno vale uno
Cominiciamo a considerare i numeri della forma 9, 99, 999, 9999, … che possiamo scrivere come 101−1, 102−1, 103−1, 104−1, … Questa successione contiene un termine della forma 10p−1. Ma per il piccolo teorema di Fermat 10p−1 ≡ 1 (mod p) se p non divide 10 (e quindi è diverso da 2 e 5), quindi abbiamo un multiplo di p della forma 999…999. Se questo numero N ha k cifre, anche (10k+1)N, (102k+10k+1)N, (103k+102k+10k+1)N, … sono della stessa forma.
A questo punto, se p è diverso da 3 possiamo scrivere quei 999…999 come 9×111…111; se p divide il prodotto deve anche dividere uno dei due fattori, ed essendo primo con 9 deve dividere il secondo fattore. Resta dunque il caso 3; ma 37·3 = 111, 37037·3 = 111111 e così via.

4. Distanze distinte
Il quadrato ha due assi di simmetria, rispetto alle diagonali; ci sono pertanto solo tre posizioni essenzialmente distinte per B, mostrate nel disegno qui sotto dove i punti con la croce sono vietati perché hanno la stessa distanza da A e D, e quelli in grigio sono vietati perché hanno la stessa distanza con uno tra A e D e B. Rimangono quattro posizioni per il punto C nel primo schema, tre nel secondo e due nel terzo; ma in realtà queste ultime due posizioni sono simmetriche e quindi bisogna eliminarne una. In totale restano pertanto 8 posizioni essenzialmente distinte.

5. Tentare la sorte
Notate innanzitutto che C e D sono indistinguibili e quindi possono essere collassati in un unico punto CD, sommando le loro probabilità relative. Inoltre si può vincere o perdere solo dopo un numero pari di mosse.
Dopo una mossa, si è certamente in A.
Dopo due mosse, si ha una probabilità 1/3 di perdere e 2/3 di essere in CD.
Dopo tre mosse, si ha probabilità 1/3 di essere in A e 1/3 di essere in B (il terzo che manca è perché si è già perso 🙂 )
Dopo quattro mosse, si ha probabilità 1/9 di perdere, 1/9 di vincere e 4/9 = 2²/3² di essere in CD.
A questo punto la probabilità di non avere ancora né vinto né perso è i 2/3 di quella del passo precedente, e ci si trova nello stesso punto. Dopo sei mosse, si ha pertanto probabilità (1/9)(2/3) di perdere, (1/9)(2/3) di vincere e 2³/3³ di essere in CD; dopo otto mosse le probabilità sono rispettivamente (1/9)(2/3)², (1/9)(2/3)² e 24/34; e così via.
Se il gioco non finisce in due sole mosse, la probabilità di vincere e di perdere è la stessa; visto che questo capita in due casi su 3, la probabilità di vincere è 1/3. Quanto alla durata attesa, essa vale (1/3)Σn≥1(2n−1/3n−1)(2n)) = Σn≥0(nn/3n)(2n)); questa è una serie aritmo-geometrica la cui somma è 6.

Problemini per Pasqua 2018

Come sempre, nell’uovo ci sono cinque problemi, questa volta un po’ di annata come vedrete da alcuni numeri usati nei testi.

1. L’invasione dei cloni
Al congresso “L’invasione dei cloni” si sono riunite 201 persone di cinque nazionalità diverse. Si sa che in un qualunque gruppo di sei congressisti almeno due hanno lo stesso numero di anni. Dimostrate che ci sono almeno cinque persone della stessa nazione, età e sesso.

[assemblea]
(immagine di anonymous, da OpenClipArt)

2. Spazio 1999
Costruite il triangolo aritmetico mostrato qui sotto
[0,1,2,3,4,...,1997,1998,1999; 1,3,5,7,...,3995,3997; 4,8,12,...,7992;  ...]
nel quale ogni numero è la somma dei due sopra di esso. Evidentemente ogni riga ha un numero in meno di quella precedente. La duemillesima riga avrà un solo numero; dimostrare che è un multiplo di 1999.

3. Uno vale uno
Dimostrare che dato un qualunque numero primo p diverso da 2 e 5 esistono infiniti multipli di p la cui rappresentazione decimale è 111…111 (composta da sole cifre 1)

4. Distanze distinte
Il disegno qui sotto è fatto di sedici punti disposti a forma di quadrato; le distanze orizzontali e verticali tra due punti adiacenti sono tutte uguali a 1. Due di questi punti su una diagonale del quadrato, A e D, sono selezionati. In quanti modi possono essere scelti altri due punti B e C in modo che tutte e sei le distanze definite dai quattro punti siano diverse? Due posizioni uguali per rotazione o riflessione sono da considerarsi identiche.

5. Tentare la sorte
Alla fiera del paese è apparsa una strana macchina, schematizzata nella figura qui sotto. Inserendo una moneta, appare una pallina al punto S che viene sparata schiacciando un bottone. Ogni volta che il bottone viene schiacciato la pallina si sposta in un altro dei punti adiacenti; la probabilità di scegliere un punto o l’altro è la stessa. Se la pallina ritorna a S il giocatore ha perso; se arriva a V ha vinto. Qual è la probabilità di vincere e quanto dura in media una partita?