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Uno dei blog di .mau.

Numeri che appaiono in posti impensati [Pillole]

Ci sono alcuni numeri interi che possono essere espressi come somma di due quadrati di numeri interi: per esempio, 10 = 1 + 9 = 12 + 32 (e le altre tre possibilità che si hanno cambiando il segno a uno o entrambi gli addendi: (−1,3), (1,−3), (−1,−3). Altri numeri, come 11, non ammettono nessuna scomposizione come somma di due quadrati. Il numero Q(n) di scomposizioni possibili varia molto: i primi valori di Q(n), per n che va da 0 a 10, sono 1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8 (vedi OEIS). Quello che può sembrare incredibile è che il valore medio di Q(n), per n che tende all’infinito, vale esattamente π.

25 può essere espresso in 12 modi come somma di quadrati

Il fatto sembra incredibile, ma la sua dimostrazione è molto semplice. La somma dei Q(i) per i che va da 0 a n è pari al numero di punti del reticolo degli interi che sono contenuti nel cerchio di centro l’origine e raggio √n; tale numero di punti tende a essere pari all’area del cerchio stesso, cioè πn. Dividiamo per n per ottenere il valore medio, e siamo a posto.

09/04/2013 Uncategorized

Euclide aritmetico

Euclide è uno dei pochi matematici il cui nome è conosciuto anche da chi la matematica non la può proprio sopportare: magari non sopporta neppure Euclide stesso, causa tristi ricordi scolastici, ma sa chi è… il che è buffo, se si pensa che in fin dei conti della sua vita se ne sa ben poco: gli Elementi non hanno indicazione dell’autore, ed è solo una singola citazione di Proclo che ci permette di conoscere il nome di chi li ha scritti. Ma c’è anche un’altra cosa che se non proprio buffa è comunque interessante da notare. Quasi tutti associano automaticamente a Euclide la geometria (euclidea, appunto), senza sapere che i libri dal VII al X degli Elementi parlano di aritmetica, arrivando fino a una specie di teoria dei numeri irrazionali, usando le tecniche di Eudosso per le approssimazioni con rapporti di numeri interi. Stavolta voglio raccontarvi di due teoremi aritmetici di Euclide, entrambi importantissimi anche se per ragioni diverse: l’infinità dei numeri primi, e il calcolo del massimo comun divisore tra due numeri.

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03/04/2013 Uncategorized

Citazioni da _The Joy of x_ [Pillole]

Ho letto The Joy of X, di Steven Strogatz, e mi è piaciuto molto (una recensione la trovate sul mio blog personale). Mi sono particolarmente piaciute alcune sue frasi: ho pensato di tradurle perché le possiate apprezzare anche voi. Eccovi la matematica dozzina!

[1] Ogni decennio o giù di lì arriva un nuovo approccio per insegnare la matematica e creare nuove opportunità ai genitori per sentirsi inadeguati. (capitolo 4)

[2] Ci vuole un po’ di pratica per parlare correttamente il linguaggio algebrico, perché è pieno di “falsi amici”: una coppia di parole, ciascuna nella propria lingua (in questo caso la nostra e l’algebra, appuunto) che hanno un suono simile e sembrano indicare la stessa cosa, mentre invece significano qualcosa di tragicamente diverso. (capitolo 7)

[3] Un matematico ha bisogno delle funzioni per la stessa ragione per cui un costruttore ha bisogno di martelli e trapani. Con gli strumenti si possono trasformare le cose; lo stesso con le funzioni. (capitolo 11)

[4] Dovunque compaiano, dalla scala Richter per le magnitudo dei terremoti al pH per misurare l’acidità, i logaritmi sono dei fantastici compressori, ideali per prendere quantità i cui valori sono estremamente variabili e strizzarli fino a che diventino più gestibili. (capitolo 11)

[5] Noi matematici abbiamo qualcosa in comune con i complottisti: quando notiamo una coincidenza siamo sospettosi, soprattutto se è utile. Non può essere un caso. Le cose accadono per un motivo. (capitolo 14)

[6] Alcuni numeri sono celebrità tali da avere un nome d’arte di una singola lettera, qualcosa che nemmeno Madonna o Prince possono eguagliare (capitolo 19)

[7] Dite ciao a e. Soprannominata così per il suo ruolo di successo nella crescita esponenziale, e è ora lo Zelig della matematica superiore. Spunta ovunque, sbirciando dagli angoli del palco, e si burla di noi facendosi trovare nei luoghi meno adatti. Per esempio, a parte le conoscenze che ci dà sulle reazioni a catena e il boom demografico, e ha una parolina o due da dirci prima di decidere con quante persone dovremmo uscire prima di metter su famiglia. (capitolo 19)

[8] Quello che distingue l’analisi dal resto della matematica è la sua disponibilità ad affrontare – e imbrigliare – il terrificante potere dell’infinito. (capitolo 19)

[9] Quasi contro la sua volontà, la teoria dei numeri fornisce la base degli algoritmi crittografici usati milioni di volte al giorno per rendere sicure le transazioni con carta di credito su Internet, e codificare le comunicazioni top secret (capitolo 25)

[10] E che dire di 1? È un numero primo? No, non lo è; e quando saprete perché non lo è, inizierete a comprendere perché 1 è il numero più solo – una solitudine ancora maggiore di quella dei numeri primi. (capitolo 25)

[11] Il punto di vista ingenuo è che creiamo le nostre definizioni, le incidiamo nella roccia, e poi deduciamo tutti i teoremi che ne seguono. No, non è così. Sarebbe qualcosa di troppo passivo. Siamo noi a comandare, e possiamo modificare le definizioni a nostro piacere – soprattutto se un piccolo aggiustamento ci porta a un teorema più elegante. (capitolo 25)

[12] La matematica fa la spaccona con un’intimidante aria di certezza. Come un boss della mafia, si presenta decisa, netta e irremovibile. Ti fa un’offerta che non puoi rifiutare. Ma ogni tanto, in privato, la matematica è insicura. Dubbiosa. Si fa delle domande, e non è sempre certa di avere ragione… specialmente quando si tratta dell’infinito. L’infinito può tenere la matematica sveglia la notte, preoccupata, agitata, con una paura esistenziale: perché ci sono stati momenti nella storia della matematica in cui avere liberato l’infinito ha provocato un tale caos da rischiare di mandare a rotoli tutto l’edificio. E questo non sarebbe bello per gli affari. (capitolo 29)

06/04/2013 Uncategorized

Tutti i numeri naturali sono uguali [Pillole]

Lasciamo da parte lo zero, e consideriamo l’insieme N di tutti i numeri naturali 1, 2, 3, 4, … Vale allora il seguente

Teorema: per ogni coppia di numeri a,bN, si ha che a=b; in altre parole tutti i numeri naturali sono uguali.

Dimostrazione: per induzione. Sia k = max (a,b). Se k=1, allora necessariamente a=b=1 e il teorema è vero. Nel caso generale, immaginiamo che il teorema sia vero fino a k e che max (a,b) = k+1. Quest’ultima eguaglianza implica però che max (a−1,b−1) = k; per ipotesi induttiva, a−1=b−1 e quindi a=b; QED.

Ehm… forse c’è qualcosa che non va. Riuscite a scoprire cosa?

29/03/2013 Uncategorized

Ricondursi al caso precedente

Inizio con l’esporvi un problema matematico. Prendete un mazzo di (52) carte, mischiatelo, e poi girate le carte a due a due. Un bravo prestigiatore è capace a fare in modo che tutte le coppie siano composte da una carta rossa e una nera; ma immaginate che il mazzo sia stato mischiato bene e quindi le coppie siano scelte in maniera davvero casuale. Qual è allora la probabilità che tutte le ventisei coppie siano formate da una carta rossa e una nera?

Prima di passare a risolvere il problema, così avete a disposizione un po’ di tempo in più per pensarci, ecco una “barzelletta matematica”. A un matematico e a un fisico viene chiesto di specificare tutte le operazioni da fare, avendo a disposizione un pentolino, un uovo, un fornello, un rubinetto e un orologio, per cuocere un uovo sodo. Entrambi rispondono “si riempie il pentolino d’acqua, si accende il fuoco, si aspetta che l’acqua bolla, si mette l’uovo nel pentolino, si aspettano quattro minuti, si spegne il fuoco e si prende l’uovo”. Come seconda domanda viene chiesto di specificare cosa fare se il pentolino è pieno d’acqua. Il fisico risponde “si accende il fuoco, si aspetta che l’acqua bolla, si mette l’uovo nel pentolino, si aspettano quattro minuti, si spegne il fuoco e si prende l’uovo”; il matematico “si svuota il pentolino e ci si riconduce al caso precedente”.

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27/03/2013 Uncategorized

Centenario di Paul Erdős [Pillole]

Il 26 marzo 1913 nasceva Paul Erdős. Di lui ne ho già parlato qui sul Post qualche anno fa, oltre che sul mio blog personale. Oltre ad aggiungere un nuovo link (in inglese, mi spiace, ma con un paio di problemini), vorrei ancora rimarcare una cosa.

Credo che l’importanza di Erdős non stia nella sua prolificità, né naturalmente nell’essere stato un tipo con qualche rotella fuori posto – e non venitemi a dire che quella è una condizione necessaria per fare matematica. Quello che conta davvero è la capacità che ha avuto di essere pronto a collaborare con tutti (“il mio cervello è aperto” era la sua tipica frase quando arrivava più o meno inaspettato da un collega matematico, per produrre qualche risultato insieme a lui). Probabilmente la sua attitudine è stata una delle cose che ha più cambiato il modo di fare matematica, da attività solitaria a lavoro di gruppo.

Aggiornamento: se avete un’oretta di tempo potete guardarvi questo video su (e con) Erdős.

26/03/2013 Uncategorized ,

Parole matematiche: moda

Parlare di moda e di matematica non sembra chissà quale grande idea, a meno che ci sia una frase negativa tipo “la matematica non è certo di moda”. Al più qualcuno potrebbe riesumare i favolosi anni Sessanta, e ricordarsi che nella moda di allora c’è stato un periodo di Op-art, che in fin dei conti usava le figure geometriche nel disegnare i motivi dei vestiti. Ma i matematici sono molto più bravi a rubare le parole per i loro scopi…

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12/03/2013 Uncategorized

Hash e salting

Oggi faccio una digressione non propriamente matematica quanto informatica: spero che la cosa non vi infastidisca troppo, soprattutto considerando che il tema è comunque teorico e non pratico ma non lo tratterò in maniera troppo teorica. D’altra parte se nessuno mi fa richieste io continuo a scrivere quello che interessa a me…

Lo spunto per il post, a parte quanto scritto da MarkCC, sono stati gli attacchi informatici di questi mesi, col furto dei file con le password – prima a Twitter, e ci sono passato in mezzo anch’io, poi su Evernote. In entrambi i casi, a parte la richiesta di cambiare password (ma non solo per la ragione a cui probabilmente pensare!), le aziende hanno assicurato gli utenti: le password non erano scritte in chiaro, ma crittate con hash e salt. No, non sono paroloni messi lì per far credere chissà quale inesistente finezza nelle tecniche di crittografia: sono dei concetti assolutamente standard e utili per aumentare la sicurezza. Ma vediamo più nel dettaglio a che cosa servono.

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11/03/2013 Uncategorized

Una (vecchia) rivoluzione nella matematica

La settimana scorsa Paolo Marino mi ha segnalato questo articolo di Frank Quinn, dal titolo A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century Ago and Why It Matters Today. La rivoluzione di cui parla l’articolo dovrebbe essere abbastanza nota a chi ha studiato matematica al liceo: Quinn però la considera da un punto di vista un po’ diverso, che a me per esempio non era mai venuto in mente, e che getta una luce interessante su quello che accade oggi. Provo a raccontare quanto ho capito io, tenendo conto che siamo su un difficile crinale tra filosofia della matematica e didattica. Diciamo che l’unico vantaggio è che di formule non se ne parla affatto!

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19/03/2013 Uncategorized

Trova il pi greco!

Oggi è il 14 marzo, cioè il giorno di pi greco (per gli anglofoni, che lo scrivono come 3.14 …). Questo significa che in varie parti del mondo gli appassionati di matematica mettono in campo iniziative per festeggiare il numero π; gli anglofoni continuano a essere fortunati, perché lo pronunciano come “pie”, torta, e così possono anche mangiare. Noi ci dobbiamo accontentare di molto meno: come succede il 14 di ogni mese, molti blogger mandano dei contributi per il Carnevale della Matematica. Questo mese tocca a Gianluigi Filippelli, che ha scelto come tema proprio il π day.

Io non avevo seguito il tema, mi ero giusto avvicinato un po’ parlando dello ψ day; però mi sembra simpatico raccontare di un’iniziativa di Marcus du Sautoy, che mi è stata segnalata da Ugo Allisiardi con questo articolo.

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14/03/2013 Uncategorized