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no, ne bastano tre [Pillole]

L’anno scorso scrissi di come Terry Tao aveva dimostrato un teorema che si avvicina alla congettura di Goldbach, quella che afferma che ogni numero pari maggiore di 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. Il teorema di Tao affermava che ogni numero dispari è esprimibile come somma di al più cinque numeri primi. Oggi Tao ha comunicato che Harald Helfgott è riuscito a dimostrare un risultato ancora migliore: ogni numero dispari maggiore di 5 è esprimibile come somma di tre numeri primi; la cosiddetta “congettura debole di Goldbach”. L’abstract al solito è su arXiv: sono solo 133 pagine.

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Siamo tutti pedagoghi

Visto che anche quest’anno ci sono state le solite polemiche sulle prove Invalsi di matematica – trovate qua una lunga lettera di Giorgio Israel che è storicamente contrario a questi test per ragioni di principio da lui bene argomentate – ho pensato che posso anch’io buttarmi nella polemica, prendendo come esempio il problema del metro rovesciato che è quello che ha suscitato più polemiche. Ricordo tra l’altro che ho già parlato di questi test.

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È morto Kenneth Appel [Pillole]

Il nome forse non vi dice molto, e non penso sia un caso che sia morto il 19 aprile ma non ne avevo sentito parlare fino a stamattina: ma Appel (qui il suo ricordo sull’Economist), insieme a Wolfgang Haken, nel 1976 fecero una rivoluzione nella filosofia matematica, dimostrando il teorema dei quattro colori – ne ho già parlato sul Post mediante un pesante uso del computer.

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Parole matematiche: funzione

La parola “funzione”, nel suo ambito matematico, dovrebbe essere nota più o meno a tutti: al limite ci saranno molti che non oserebbero mai confessare di non essere riusciti a capire cosa diavolo sia, una funzione. Ma sicuramente la parola è usata più o meno ovunque. Pensate al funzionario, o se preferite al facente funzione; alle funzioni religiose; alla funzione clorofilliana; e via discorrendo, fino al ministero della Funzione Pubblica. Eppure, pur con tutti questi usi, la parola è di uso piuttosto recente: tanto per usare il solito metro di paragone, Dante non l’ha mai usata, neppure in una forma correlata.

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Quasi uno [Pillole]

Come dice anche Wolfram Alpha, sin(1) è un numero trascendente, che vale un po’ più di 0,8414709848078965066525. (Per completezza, l’unità di misura non sono i gradi ma i radianti: un radiante è circa 57 gradi). Visto che sin(x)=1 per x = π/2 radianti, sin(n) non potrà mai valere 1 per un valore intero di n. Ma se ci accontentiamo di arrivare quasi a uno, che possiamo dire?

Il teorema di Hurwitz – o per meglio dire uno dei teoremi di Hurwitz – ci assicura che ci possiamo avvicinare quanto vogliamo a 1; più precisamente, il teorema afferma che dato un qualunque numero irrazionale ξ esiste una successione infinita di frazioni m/n tali che la differenza in valore assoluto tra ξ e m/n è minore di 1/(√5·n²). Detto in altro modo, se noi iniziamo a indicare sul segmento [−1,1] tutti i valori di sin(n), al crescere all’infinito di n il segmento non sarà naturalmente riempito visto che non avremo abbastanza valori a disposizione, ma visto da lontano sembrerà comunque senza buchi.

Tornando al nostro esempio, sin(190)=0,9977992786806…, sin(3872)=0,999916207545327…, sin(18498340)=0,999999999409637… Basta non avere fretta, insomma! Ah: quel √5 ovviamente è colpa del numero aureo. Ci sono costanti che sono sempre tra i piedi.

Parilandia

Parilandia è una nazione in cui non hanno voluto partire a contare da 1, perché indivisibile, e hanno preso il 2. Hanno poi imparato a sommare (2+2=4, 2+4=6, …) e moltiplicare (2*2=4, 2*4=8)… senza problemi, e hanno così definito i numeri “binteri”. Poi sono anche andati avanti: 1 di per sé esiste, essendo 2/2, ma non è un bintero proprio come per noi 1/2 non è intero. Nella loro matematica hanno poi definito i numeri primi, quelli che non hanno nessun divisore; 2 è primo, 4 non è primo perché è 2·2, 6 è primo (sarebbe 2·3, ma 3 mica è un bintero…).

Insomma va quasi tutto bene, se non per un guaio: in Parilandia non vale il teorema fondamentale dell’aritmetica, quello cioè che afferma che un numero è fattorizzabile in un unico modo come prodotto di primi. Qual è il più piccolo numero che è fattorizzabile in due modi diversi? Il problema è preso da Numberplay, per la cronaca.

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Il paradosso delle due monete [Pillole]

Se lanciate una moneta fino a che non esce testa, potete essere molto sfortunati e morire prima di farcela (oppure trovare qualcuno che vi confischi la moneta); ma il numero medio di lanci che vi tocca fare è 2; questo infatti è il valore della somma (1·1/2 + 2·1/4 + 3·1/8 + 4·1/16 + …).

Immaginate ora di avere due monete, e di volere sapere quanti lanci occorrono in media perché ciascuna di esse abbia mostrato testa almeno una volta. Notate bene la formulazione: non chiedo che escano contemporaneamente entrambe testa: se per esempio i lanci sono stati TC, CC, CT vi sono serviti tre lanci. Insomma le due monete sono indipendenti tra di loro. La risposta dunque dovrebbe continuare a essere 2, giusto? Sbagliato. La risposta è 8/3: se non ci credete, scrivetevi un programmino e fategli fare un migliaio di prove. Indipendenti un corno!

(Se fate i bravi, prima o poi vi spiego come fare a calcolare questi valori usando le relazioni di ricorrenza, e qual è la ragione matematica dietro il paradosso)

Risposte ai problemi per Pasqua 2013

Avete avuto problemi nel risolvere i problemi di domenica scorsa? Nema problema! Eccovi le soluzioni.

1. Mattoni
I lati del parallelepipedo sono 3, 11 e 61: il volume è pertanto 2013 (sì, abbiamo ancora problemi sull’anno in corso)

2. Ventiquattro
Le soluzioni per le cifre diverse da 1 e 7 sono indicate qui sotto.

22+2 = 24
3^3 - 3 = 24
(4 + 4 - 4)! = 24
(5 - 5/5)! = 24
(6/.6 - 6)! = 24
8 + 8 + 8 = 24
(√9 + 9/9)! = 24

La notazione .6 sta naturalmente per 0,6. I casi di 1 e 7 sono mostrati nella figura seguente, dove la barra indica il periodo di un numero periodico.

3. Salti
Tralasciamo per un momento il dover tornare al punto di partenza, e immaginiamo che tutti i salti siano nella stessa direzione. Se si fanno n salti, si arriverà al punto n(n+1)/2; quindi se n è pari a 1 oppure a 2 modulo 4 il valore finale sarà dispari, e sarà impossibile dividere i salti nelle due direzioni per tornare al punto di partenza. Se invece n è pari a 0 modulo 4, seguendo un semplice schema di salti sinistra-destra-destra-sinistra si è certi di essere al punto di partenza ogni quattro salti; se n è pari a 3 modulo 4 si cominci a fare i primi due passi a destra e il terzo a sinistra, tornando all’origine; a questo punto si è tornati al caso precedente, da bravi matematici :-) In definitiva, l’anno successivo sarà il 2015.

Un problema a cui non ho risposta è decidere qual è la minima lunghezza di un segmento di retta necessario per poter fare tutti i salti. La mia congettura (emendata dopo che mi è stato fatto notare che avevo sbagliato) è che basti un segmento da -1 a n: il lettore gnugnu mi ha confermato che l’intervallo [0,n] basta per qualsiasi n esclusi i valori 4, 7, 11, 16, 20 per cui occorre [-1,n].

4. Dodici per dodici
Una possibile soluzione è quella indicata qui sotto. Il triangolo rettangolo completo avrebbe area 24: togliendo i tre quadrati si ottiene 12.

una figura con l'area richiesta

5. Successioni
Le date della successione sono quelle la somma delle cui cifre è 6. Pertanto il termine successivo è 2103 (e quello precedente, per la cronaca, 1500).

Integermania [Pillole]

Probabilmente conoscerete il giochino che chiede di scrivere i numeri da 1 a 100 usando solo quattro cifre 4 e le operazioni aritmetiche più o meno usuali. Un simpatico passatempo per abituarsi a fare un po’ di operazioni, insomma.

Se questo tipo di giochini vi piace, potete andare su Integermania!, dove si trovano varie sfide di questo tipo: alcune “semiconcluse”, nel senso che i webmaster non credono si possa fare molto meglio, altre ancora aperte, come quella di Ramanujan che parte dalle cifre 1,7,2,9. Attenzione, però! Le soluzioni hanno una loro “squisitezza”, che possiamo tradurre come la semplicità delle operazioni impiegate per ricavare il numero obiettivo. Quindi si può sempre tentare di migliorare la squisitezza delle soluzioni più “sporche”, quelle cioè che non usano solo le quattro operazioni ma si avventurano nelle lande matematiche più perigliose.

Spending review sulle operazioni

Vi siete mai chiesti perché le quattro operazioni siano proprio quattro, e non due, sette o quarantadue? Beh, quarantadue operazioni da ricordare sarebbero in effetti un po’ troppe, e forse elevazione a potenza, estrazione di radice e logaritmo non sono proprio così elementari; inoltre dire che “la sottrazione è l’opposto dell’addizione e la divisione l’inverso della moltiplicazione” può dare qualche problema con frazioni e numeri negativi. (Ah: c’è chi dice che definire la moltiplicazione come somma ripetuta dia più danni che altro. Ne riparliamo magari un’altra volta). Secondo me, insomma, la risposta è che quattro era un bel numero, né troppo grande né troppo piccolo.

Può però sembrare incredibile, ma non è necessario usare tutte e quattro le operazioni per ottenere i loro risultati: è possibile definire una sola operazione ◊ tale che a+b, a−b, a⋅b e a/b siano tutti esprimibili per mezzo di ◊, pur con un po’ di fatica e un paio di assunzioni – no, si chiamano “assiomi”. L’operazione è naturalmente binaria: a ◊ b, proprio come a+b. Quindi le tecniche che si applicano sono un po’ diverse da quelle che dicono a−b = a+(−b); in quest’ultimo caso infatti abbiamo introdotto un nuovo operatore unario (il − davanti a un numero, che è diverso dal − che si piazza in mezzo a due numeri anche se purtroppo viene scritto nello stesso modo). Volete sapere come si fa?

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