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Problemini per Pasqua 2015

Stavolta i problemini sono tratti da varie gare matematiche (per giovani, non preoccupatevi…) e recuperati dal sito Gifted Mathematics.

1. Non troppa area

All’interno (quindi non sul perimetro!) di un quadrato di lato 1 ci sono nove punti. Dimostrare che se ne possono trovare tre che formano un triangolo di area minore di 1/8. Ovviamente tre punti collineari formano un triangolo di area 0.

2. Radici, solo radici

Calcolate il valore (ammesso che sia finito…) dell’espressione qui sotto.

3. Prodotti notevoli

A parte la soluzione banale (0,0), quante altre soluzioni intere (positive o negative) ci sono per la seguente equazione?
(m²+n)(m+n²) = (m+n)³

4. Cancellazioni

Vi viene detto che in una delle soluzioni dell’equazione
x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + … + x_nx₁ = 0 tutti gli x_i hanno valore +1 oppure −1. Dimostrate che n dev’essere multiplo di 4.

5. Zigzag

Il triangolo ABC qui a fianco ha i lati lunghi 4. Il punto A₁ è a metà del segmento AC e il segmento A₁B₁ è perpendicolare ad AC; similmente il punto A₂ è a metà del segmento A₁C e il segmento A₂B₂ è perpendicolare ad A₁C, e così via all’infinito. Quanto vale la somma di tutti i segmenti BA₁+B₁A₂+B₂A₃+…?