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Problemini per Natale 2014

Questa volta i problemi sono tratti dal vecchio libro Mathematical Puzzles for the Connoisseur di P.M.H. Kendall e G.M. Thomas. Come al solito, a fine anno avrete le soluzioni :-)

1 – Usura
Immaginate di avere due treni che facciano un percorso lungo l’equatore – per evitare scontri, diciamo che uno sta un metro sopra l’equatore e l’altro un metro sotto. I due treni sono identici e si muovono alla stessa velocità. Quale sarà il treno che consumerà prima le proprie ruote?

2 – Angoli
Come si vede nella figura qui sotto a sinistra, è facile ottenere quattro angoli retti usando quattro fiammiferi. Immaginando che i fiammiferi siano di spessore nullo, è anche abbastanza facile ottenere sedici angoli retti con una figura a forma di cancelletto – hash per gli anglofoni twitteristi. Ma siete capaci a ottenere dodici angoli retti con solo tre fiammiferi? Non è ammesso piegarli o spezzarli.

3 – Assonometria
Qualcuno si ricorda ancora dell’assonometria cavaliera? Un oggetto, visto dall’alto (cioè proiettato sul piano x-y e da un lato (proiettato sul piano x-z), appare come le due viste nel disegno qui sotto. Come potrebbe essere la terza vista, quella proiettata sul piano y-z?

4 – Città
In una lontana nazione ci sono sei città, qui denominate con le lettere da A a F, con una strana caratteristica. Sono tutte su un quadrante di cerchio che ha come diametro AF, e le distanze in linea d’aria delle città B, C, D, E da A e da F sono un numero intero di chilometri, così come la distanza tra A e F. Inoltre queste sono le più piccole distanze (non nulle…) possibili con questa caratteristica. Qual è la distanza tra A ed F? (Il disegno non è in scala, non vale usare un righello)

5 – Cruciformula

Trovate i valori di a, b e c perché le formule date come definizioni risolvano questo “cruciverba coi numeri” (che cruciverba non può essere, ma non sottilizziamo). Alcune formule sono ridondanti, ve lo dico subito.

Orizzontali:
1.   ab²c − bc − c
5.   bc/2
6.   bc+1
7.   b²−bc
9.   b-2
10.   4b³−2

Verticali:
1.   3ab²
2.   c³
3.   (b²+c)/2
4.   b(4b²−1)
8.   a(2b−1)
9.   b−1