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Risolvere il gioco del quindici [Pillole]

Penso conosciate tutti il gioco del quindici. Popolarizzato – e non “inventato”, come Wikipedia diceva prima che io iniziassi a scrivere questo post – da Sam Loyd, è composto da una griglia 4×4 con all’interno quindici quadratini numerati da 1 a 15, e uno spazio vuoto che può essere occupato da uno dei numeri a fianco. Scopo del gioco sarebbe iniziare dalla configurazione mostrata a sinistra nella figura qui sotto e “rimettere a posto” il 15 e il 14, che non sono nell’ordine corretto. Loyd offrì 1000 dollari (di più di un secolo fa!) a chi fosse riuscito nell’intento: peccato che sia dimostrabile matematicamente che le posizioni possibili si dividano in due categorie, e si possano raggiungere tutte e solo le posizioni appartenenti alla stessa categoria. Inutile aggiungere che la posizione iniziale non è nella stessa categoria di quella richiesta.

Anche questa informazione è nota a molte persone: però potrete ancora stupire qualcuno scommettendo che voi sarete capaci a mettere i numeri consecutivi nell’ordine corretto (da sinistra a destra e dall’alto in basso) da 1 a 15, senza nessuno sporco trucco come rovesciare la griglia oppure aprirla e richiuderla. Il trucco c’è, ma è di tutt’altro tipo: dovete raggiungere la posizione indicata a destra nella figura. Come vedete, i numeri sono effettivamente in ordine crescente: nessuno aveva detto che lo spazio dovesse essere nella posizione in basso a destra.

La morale (a parte “non fidatevi mai di un matematico”)? Beh, le definizioni iniziali in matematica sono molto importanti; quando dovete dimostrare qualcosa controllate sempre cosa viene chiesto!