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Quanto è “irragionevolmente efficace” la matematica?

Gli amici di Madd:Maths! hanno segnalato questo post di Lisa Zyga su phys.org (che mi dicono essere un sito serio: mi devo fidare, perché io e la fisica non andiamo d’accordo), il cui titolo tradotto in italiano è “La matematica è un modo efficace per descrivere il mondo?” Nell’articolo si può leggere di Derek Abbott, professore universitario australiano, che sostiene con forza un punto di vista non-platonista: che la matematica non è affatto “il linguaggio della natura” ma semplicemente una costruzione umana che si applica approssimativamente alla fisica. Parliamone. (Tenete però conto che in filosofia sono ancora più una capra, abbiate pietà… ma tanto c’è chi dice che sono una capra anche come matematico, dunque tutto torna.)

Cominciamo con una lunga digressione, per avere chiaro di cosa si sta parlando. Se si chiedesse a chi fa matematica qual è la sua posizione filosofica riguardo alla matematica stessa, le risposte tipiche andrebbero da un paio di occhioni sgranati alla perentoria affermazione “io non faccio filosofia, faccio matematica!” Però i matematici, anche se non lo sanno, un atteggiamento filosofico ce l’hanno eccome. Il pendolo oscilla: cent’anni fa, per esempio, andava abbastanza di moda l’approccio hilbertiano che – volendo fare in modo che la coerenza della matematica si definisse attraverso la matematica stessa – in pratica la riduceva a un puro formalismo. Gli enti matematici non hanno alcuna esistenza: fintantoché gli assiomi che li legano tra di loro sono rispettati, punti linee piani possono per esempio essere sostituiti da tavoli sedie boccali di birra.

I teoremi di incompletezza di Gödel infersero un colpo mortale al formalismo, e la posizione che era de facto quella della stragrande maggioranza dei matematici nel corso del ventesimo secolo divenne quella teorizzata da Platone (non tanto per la matematica, quanto per tutte le idee): i concetti matematici esistono “da qualche parte” – no, non pensate a qualcosa di tangibile, non è che nell’iperuranio ci sia l’archetipo della quattrezza proprio come quello di un tavolo – e quindi noi non inventiamo teoremi bensì li scopriamo, dato che ci sono già. Soprattutto quelli come me che apprezzano la matematica ricreativa sono stati esposti al platonismo sin da piccoli: Martin Gardner era un platonista convinto, e l’ha spesso esplicitato.

Il primo matematico che negli ultimi decenni ha cercato di spezzare l’incantesimo platonista è stato Reuben Hersh, con il suo Che cos’è davvero la matematica (ho appena scoperto che è fuori catalogo…). Per Hersh la matematica è puramente il risultato di un’attività umana, e qui si riallaccia a Kronecker che 150 anni fa diceva che i numeri interi sono opera di Dio mentre tutto il resto della matematica è opera dell’uomo, e quelli che per noi sono “teoremi naturali” sembrano naturali solo perché il nostro retaggio culturale ce lo fa credere. Un alieno, insomma, potrebbe avere non tanto un’altra matematica ma un altro modo di vedere la matematica: due pietre assieme a due pietre saranno sempre quattro pietre, ma un’ipotetica intelligenza liquida potrebbe considerare il concetto di “due” come un costrutto complicato, non avendo esperienza diretta di oggetti discreti. Questo punto di vista ha guadagnato molti adepti negli ultimi tempi: secondo Tim Gowers, oggi molti matematici si professano platonisti ma in realtà sono per così dire formalisti dentro. Ho il sospetto che la causa di questo spostamento sia dovuto al fatto che la matematica è diventata sempre più astratta e quindi meno visibile.

Ma torniamo alla casella di partenza. Il punto forte dei platonisti si riassume in una famosa frase del fisico Eugene Wigner, che scrisse un articolo sull'”irragionevole efficacia della matematica”. In pratica, Wigner notava come a partire dal momento in cui la fisica ha iniziato a usare la matematica per rappresentare le leggi dell’universo ci sono stati grandissimi progressi, e soprattutto le formule trovate sono molto semplici, più di quanto ci si potrebbe aspettare a priori. Wigner concludeva che (a posteriori) sembrava proprio vero che le leggi matematiche fossero scolpite dentro il mondo fisico, dando così una certa patente di realtà alla matematica stessa. Abbott, invece, non è d’accordo con questa visione. Devo però dire che – almeno da quanto si può leggere nell’articolo – le sue idee mi paiono piuttosto confuse.

Il primo argomento portato da Abbott è di natura strettamente personale: afferma che nelle sue stime la gran parte dei matematici tende a essere platonista, la gran parte degli ingegneri tende a essere antiplatonista, e la gran parte dei fisici tende a essere “platonista credente ma non praticante”, un po’ come Gowers definisce i matematici. Abbott (professore di ingegneria elettrica ed elettronica ad Adelaide, ricordo) conclude dicendo «se matematici, ingegneri e fisici riescono tutti a fare il loro lavoro nonostante le differenze di opinioni filosofiche sul tema, perché dovrebbe importare la vera natura della matematica in relazione al mondo fisico?» Spero concordiate con me che un argomento di questo tipo è puramente risibile, e a questo punto è meglio ricordare l’aneddoto raccontato da Abraham Pais nel suo libro Il danese tranquillo. Niels Bohr aveva un ferro di cavallo appeso sopra la porta dello studio. “Credi davvero che porti fortuna?” un amico gli aveva chiesto. “No di certo. Però mi hanno detto che funziona anche se non ci credi.”

Tra i punti citati nell’articolo, mi paiono poco credibili anche gli ultimi sul contare. Per Abbott, «quando contiamo delle banane a un certo punto il numero di banane sarà così grande che la loro spinta gravitazionale le farà collassare in un buco nero» e quindi «a un certo punto, non possiamo più fidarci dei numeri per contare»; e inoltre già il concetto di numero intero è poco saldo (altro che Kronecker!), perché «dove finisce una banana e dove inizia quella successiva»? Per il primo caso, il fatto che in questo universo non si potranno mai avere un numero di oggetti pari al numero di Graham non significa assolutamente nulla riguardo all’esistenza o meno di quel numero come concetto (tanto che si conoscono le sue cifre meno significative), né più né meno che il fatto che non possano esistere centauri non implica certo che non possiamo parlare del concetto di centauro come essere che è (non “è come”, attenti!) un uomo dalla cintola in su e un cavallo dalla cintola in giù. Che poi per i modelli fisici attuali non si sappia dove finisce una banana, perché le funzioni di probabilità d’onda delle particelle pervadono tutto lo spazio, dice semplicemente che non si possono contare le banane secondo quel modello: ma nessuno dice che quel modello sia l’unico possibile o che sia corretto.

Più interessante, sempre a mio parere, l’idea di bias cognitivo. La matematica ci sembra funzionare perché noi scegliamo gli esempi in cui funziona e ci dimentichiamo di quelli in cui non funziona, senza contare che ci vanno bene le approssimazioni (nessuno si ricorda della barzelletta della soluzione per vincere alle corse dei cavalli?) e siamo pronti a scegliere tipi diversi di formule per risolvere lo stesso problema, a seconda della scala spaziotemporale che ci occorre in questo momento. Per Abbott questa è una chiara dimostrazione del fatto che siamo noi che vediamo la matematica nella fisica, ma in realtà questa associazione non c’è affatto. Su questo sono molto d’accordo: ricordo ancora la scherzosa definizione di “well-behaved function” che era “la funzione per cui valgono i teoremi che ci interessano”. Mi pare però che questo significhi semplicemente che non dovremmo parlare dell’irragionevole efficacia della matematica ma semplicemente della sua irragionevole praticità, e il tutto di nuovo non dica nulla sull’esistenza o meno degli enti matematici di per sé.

La mia posizione resta cerchiobottista, con una tendenza di base platonica. Sono insomma convinto che esistano (molti) “mattoni fondamentali” della matematica, e probabilmente non li abbiamo ancora scoperti tutti. Il concetto di gruppo, per esempio, duecento anni fa c’era sconosciuto, eppure adesso non sapremmo farne a meno per descrivere le cose. Attività umana nella matematica ce n’è sicuramente, e un’ipotetica altra civiltà spaziale che nel complesso abbia lo stesso nostro sviluppo culturale probabilmente non avrà la nostra stessa matematica: ma sarà più una scienza sorella che una totale estranea, e i concetti di partenza saranno gli stessi. Voi che ne pensate?