Somme di quadrati [Pillole]
L’identità di Brahmagupta, dal nome di un matematico indiano del VII secolo, mostra come il prodotto della somma di due quadrati si può scrivere come somma di (altri) due quadrati:
(a2+b2)(c2+d2) = (ac−bd)2 + (ad+bc)2
La formula è stata poi ri-scoperta da Fibonacci e ri-riscoperta da Fermat, e forse era già conosciuta da Diofanto.
Nel 1748 Eulero mostrò come il prodotto della somma di quattro quadrati si può scrivere come somma di quattro quadrati: nel 1843 Hamilton riscoprì la formula, che potete trovare per esempio qui. Nel 1843 il giurista John Thomas Graves e nel 1845 il matematico Arthur Cayley mostrarono come il prodotto della somma di otto quadrati si può scrivere come somma di otto quadrati. Ah, il matematico danese Ferdinand Degen l’aveva già scoperto nel 1818 (vedi qua).
A questo punto i matematici, oltre a capire che non era bello perdere tempo a ridimostrare qualcosa, hanno iniziato a cercare un modo per scrivere il prodotto della somma di sedici quadrati come somma di sedici quadrati; ma nel 1898 Adolf Hurwitz dimostrò che (1), 2, 4 e 8 erano gli unici casi possibili. Fine della storia? Quasi. Il bello è che questi casi sono gli unici che funzionano perché corrispondono alla moltiplicazione rispettivamente nei numeri reali, nei complessi, nei quaternioni (ciao, Hamilton!) e negli ottetti (ciao, Cayley!), e quelli sono gli unici corpi in cui si possano fare moltiplicazioni decenti, come raccontavo qualche anno fa. La matematica è sempre troppo interconnessa.
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