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Permutazioni alla maturità 2013

Anche quest’anno è arrivato il testo della prova scritta di matematica per l’Esame di Stato (la maturità, per i vecchietti come me) e anche quest’anno ci sono stati i soliti mugugni. Lascio ad altri siti specializzati la soluzione di tutto il compito, e mi limito a parlare di uno dei quesiti del questionario, che a mio parere era piuttosto interessante. Il testo:

‌Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 721-esima posizione?

Spero che nessuno si sia messo a fare una lista dei primi 721 elementi per trovare la soluzione…

Il punto di partenza per iniziare a risolvere il problema è scritto esplicitamente nel testo. Con le cifre da 1 a k è possibile formare k! numeri di k cifre tutte distinte. La funzione fattoriale, il “!”, cresce molto velocemente: ma almeno per i primi numeri la si riesce a calcolare anche a mano.

     n     n!
     1      1
     2      2
     3      6
     4     24
     5    120
     6    720
     7   5040

Guardando la tabella, dovreste accorgervi ad occhio che i numeri 7 e 721 sono quasi presenti; per la precisione ci sono 6 e 720. Quindi i primi sei numeri nel listone per ordine crescente saranno quelli che tengono ferme le prime quattro cifre 1234 e fanno girare le altre tre, e il settimo sarà il primo che inizia per 1235, cioè 1235467; allo stesso modo i primi 720 numeri saranno quelli che fanno girare le ultime sei cifre, e il 721-simo sarà il più piccolo numero che inizia per 2, vale a dire 2134567. Notate che i conti che ho dovuto fare sono solo le moltiplicazioni per trovare i fattoriali (in realtà quei valori io li conosco a memoria, ma non posso pretendere troppo). Naturalmente una delle prime cose che ti insegnano quando risolvi i problemi matematici è provare a vedere cosa succede con valori semplici: in questo caso uno avrebbe dovuto provare le permutazioni di 1, 2, 3… cifre, e avere un’idea di quello che succede.

Se non ho capito male, nell’indirizzo sperimentale sono stati un po’ più cattivi e hanno chiesto il 5016-simo valore della lista. Un solutore sveglio si sarebbe dovuto subito accorgere che 5016=5040−24; un solutore attento avrebbe capito allora che bastava trovare il venticinquesimo (non il ventiquattresimo, a causa dell’errore della staccionata; se non ci credete, provate a pensare al 5040-simo elemento…) valore in ordine decrescente, e ricavare subito 7645321.

In definitiva, questo quesito era risolvibile con molta facilità per chi è abituato a giocare con la matematica; purtroppo temo che questo non faccia parte del piano di studi di molte scuole, il che è un peccato perché almeno a mio parere il quesito era proprio bello.

Post scriptum: Roberto mi fa notare come nell’indirizzo sperimentale-informatico il quesito chiedeva quali fossero gli elementi in posizione 1441 e 5036 (Non 5016). Il primo non è molto difficile: 1440 = 2·720, quindi si fanno passare le 720 permutazioni che iniziano per 1 e le 720 che iniziano per 2, e si arriva a 3124567. L’elemento in posizione 5036 è il quinto in ordine decrescente; il sistema più facile per trovare che è 7654132 è però scrivere i primi elementi, il che mi sembra una cattiveria gratuita e soprattutto serva solo a far perdere la fiducia nella bellezza della matematica. Non trovate?