Parilandia
Parilandia è una nazione in cui non hanno voluto partire a contare da 1, perché indivisibile, e hanno preso il 2. Hanno poi imparato a sommare (2+2=4, 2+4=6, …) e moltiplicare (2*2=4, 2*4=8)… senza problemi, e hanno così definito i numeri “binteri”. Poi sono anche andati avanti: 1 di per sé esiste, essendo 2/2, ma non è un bintero proprio come per noi 1/2 non è intero. Nella loro matematica hanno poi definito i numeri primi, quelli che non hanno nessun divisore; 2 è primo, 4 non è primo perché è 2·2, 6 è primo (sarebbe 2·3, ma 3 mica è un bintero…).
Insomma va quasi tutto bene, se non per un guaio: in Parilandia non vale il teorema fondamentale dell’aritmetica, quello cioè che afferma che un numero è fattorizzabile in un unico modo come prodotto di primi. Qual è il più piccolo numero che è fattorizzabile in due modi diversi? Il problema è preso da Numberplay, per la cronaca.
L’idea dei binteri può sembrare stupida, ma rivela una proprietà comune in matematica: si prende un concetto e lo si estende. Il concetto di numero primo è stato esteso agli interi di Gauss, i numeri della forma a+bi con a e b interi. In effetti somma e prodotto di due interi di Gauss è ancora un intero di Gauss, proprio come somma e prodotto di due numeri pari è ancora un numero pari. L’unica avvertenza è che il teorema di fattorizzazione unica vale a meno di elementi k che sono invertibili, tali cioè che anche il loro inverso appartenga all’insieme di partenza; questi numeri, con molta fantasia, sono detti unità. Con gli interi positivi l’unica unità è 1; già se prendiamo tutti gli interi abbiamo anche l'”unità” −1, e con gli interi di Gauss le unità sono ben quattro; 1, −1, i e −i. (I numeri razionali diversi da zero sono tutti invertibili, e infatti non si parla di fattorizzazione di un numero razionale).
La fattorizzazione unica può sembrare una cosa assolutamente normale, e se in effetti lo fosse sarebbe stato molto più semplice risolvere l’ultimo teorema di Fermat; invece ci sono estensioni degli interi per cui non vale. Consideriamo per esempio i numeri della forma a+bΦ, dove Φ=√(−5). In questo caso, abbiamo che 6 = 2·3 = (1+Φ)·(1−Φ), e nessuno di questi quattro numeri è ulteriormente fattorizzabile. Per la cronaca, i matematici, sempre precisini, distinguono tra numeri primi e numeri irriducibili. Un numero p è primo se è diverso da zero, non è un’unità, ed è tale che se p divide ab allora p divide almeno uno tra a e b; un numero r è irriducibile se è diverso da zero, non è un’unità, ed è tale che se r = ab allora uno tra a e b è un’unità. In questo caso dunque 2 è irriducibile ma non primo, visto che divide (1+Φ)·(1−Φ) ma non divide nessuno dei due fattori.
Quando operiamo con i numeri interi dire che un numero è primo e irriducibile è la stessa cosa; abbiamo visto che in Parilandia, come anche per i numeri della forma a+bΦ, non è così. Per completezza aggiungo che possono anche esserci numeri primi ma non irriducibili: se prendiamo i numeri modulo 6 abbiamo che 2 è primo, ma è anche il prodotto 5·4. Per i curiosi, qui la fregatura è data dall’esistenza di due numeri diversi da zero il cui prodotto è zero: quanto vale 2·3? Ma non divaghiamo. Quello che è importante dal punto di vista matematico è che tutta questa storia ha portato nel 1843 Ernst Kummer a definire un nuovo concetto, quello di ideale: insomma, anche se il suo approccio non riuscì ad aver ragione dell’ultimo teorema di Fermat e ci volle ancora un secolo e mezzo prima di riuscire a dimostrarlo, la matematica fu lo stesso contenta perché nacque un nuovo campo di studi.
Ah: se non avete ancora risolto il problema iniziale, la risposta è semplice. Perché un numero bintero sia fattorizzabile in due modi diversi, deve avere almeno due fattori, altrimenti sarebbe primo; quindi deve essere un multiplo di 4; non però un multiplo di 8, perché l’ulteriore fattore 2 lo sposteremmo per conto suo. Poi, vedendolo come numero intero, deve avere due fattori dispari da far giocare. In pratica, quindi, bisogna predere due “fattori” 3: gli abitanti di Parilandia possono infatti fattorizzare 36 come 2*18 oppure 6*6, e 2, 6, 18 sono tutti numeri primi.
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