Risposte ai problemi per Pasqua 2013
Avete avuto problemi nel risolvere i problemi di domenica scorsa? Nema problema! Eccovi le soluzioni.
1. Mattoni
I lati del parallelepipedo sono 3, 11 e 61: il volume è pertanto 2013 (sì, abbiamo ancora problemi sull’anno in corso)
2. Ventiquattro
Le soluzioni per le cifre diverse da 1 e 7 sono indicate qui sotto.
22+2 = 24
3^3 - 3 = 24
(4 + 4 - 4)! = 24
(5 - 5/5)! = 24
(6/.6 - 6)! = 24
8 + 8 + 8 = 24
(√9 + 9/9)! = 24
La notazione .6 sta naturalmente per 0,6. I casi di 1 e 7 sono mostrati nella figura seguente, dove la barra indica il periodo di un numero periodico.
3. Salti
Tralasciamo per un momento il dover tornare al punto di partenza, e immaginiamo che tutti i salti siano nella stessa direzione. Se si fanno n salti, si arriverà al punto n(n+1)/2; quindi se n è pari a 1 oppure a 2 modulo 4 il valore finale sarà dispari, e sarà impossibile dividere i salti nelle due direzioni per tornare al punto di partenza. Se invece n è pari a 0 modulo 4, seguendo un semplice schema di salti sinistra-destra-destra-sinistra si è certi di essere al punto di partenza ogni quattro salti; se n è pari a 3 modulo 4 si cominci a fare i primi due passi a destra e il terzo a sinistra, tornando all’origine; a questo punto si è tornati al caso precedente, da bravi matematici :-) In definitiva, l’anno successivo sarà il 2015.
Un problema a cui non ho risposta è decidere qual è la minima lunghezza di un segmento di retta necessario per poter fare tutti i salti. La mia congettura (emendata dopo che mi è stato fatto notare che avevo sbagliato) è che basti un segmento da -1 a n: il lettore gnugnu mi ha confermato che l’intervallo [0,n] basta per qualsiasi n esclusi i valori 4, 7, 11, 16, 20 per cui occorre [-1,n].
4. Dodici per dodici
Una possibile soluzione è quella indicata qui sotto. Il triangolo rettangolo completo avrebbe area 24: togliendo i tre quadrati si ottiene 12.
una figura con l'area richiesta
5. Successioni
Le date della successione sono quelle la somma delle cui cifre è 6. Pertanto il termine successivo è 2103 (e quello precedente, per la cronaca, 1500).
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