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Quante palle!

Un problemino che a dire il vero non ho mai trovato molto interessante è chiedere se è meglio mettere un tappo quadrato in un foro rotondo oppure un tappo rotondo in un foro quadrato. Supponendo che i tappi siano della massima dimensione possibile, nel senso che se crescessero ancora non entrerebbero più nel foro, la risposta è semplice: un cerchio di raggio 1 viene inscritto in un quadrato di raggio 2, quindi la parte di area che viene tappata è 4/π; un quadrato di diagonale 2 viene inscritto in un cerchio di raggio 1, quindi la parte di area che viene tappata è π/2. Considerando che il medio proporzionale tra 2 e 4 è √2 che è minore di π è chiaro che è meglio mettere il tappo rotondo nel foro quadrato. Detto tutto questo, il problemino continua a sembrarmi stupido, perché in nessun caso sto davvero tappando.

Le cose iniziano a diventare più interessanti se proviamo a spostarci dalle due dimensioni. In dimensione zero, lo “0-cubo” e la “0-sfera” (chissà perché si usano i nomi dei solidi… probabilmente perché siamo troppo abituati ai poligoni e verremmo distratti) sono dei punti. I tappi sono perfetti. In dimensione 1, 1-cubo e 1-sfera sono due segmenti, e anche in questo caso il tappo è perfetto: gli abitanti di Flatlandia non devono certo rispondere a questi stupidi quizzini. Probabilmente vi ricordate anche le formule per il volume della sfera: c’è la filastrocca che fa «Il volume della sfera qual è? / Quattro terzi pi greco erre tre». Quindi una sfera di raggio 1 dentro un cubo di lato 2 ne occuperà una parte data da π/6, mentre una sfera di raggio 1 circoscriverà (sferiscriverà?) un cubo di lato 2/√3 che ha volume 8/(3√3). Il rapporto è pertanto 2/(√3π), minore di quello che abbiamo trovato in precedenza; entrambi questi rapporti sono ben minori di quelli che avevamo trovato nel caso bidimensionale. Tutto questo ci fa immaginare che andando avanti ad aumentare dimensioni questi tappi non tappino proprio nulla. Non che la cosa sia preoccupante: non troviamo nei negozi nemmeno bottiglie di Klein, figuriamoci bottiglie n-dimensionali!

La formula che dà il volume di una N-sfera al variare di N non è esattamente banale, come potete vedere nella voce di Wikipedia in inglese ad essa dedicata e da cui ho tratto la figura qui sopra: è interessante notare che il volume di una N-sfera è legato alla superficie di una N-1-sfera, mentre la superficie di una N-sfera è legato, non lo credereste mai :-), al volume di una N-1-sfera. Questo significa che esistono in pratica due formule per il volume, a seconda che il numero di dimensioni sia pari o dispari: per una 2N-sfera di raggio unitario il volume è π^N/N!, mentre per una 2N+1-sfera unitaria il volume è 2^N+1π^N/(2N+1)!! – il doppio esclamativo è un semifattoriale, cioè il prodotto dei termini da 1 a 2N+1 presi uno sì e uno no, o se preferite di tutti i numeri dispari da 1 a 2N+1.

Tutto questo, tradotto in numeri, significa che l’area di un cerchio unitario è 2, il volume di una sfera unitaria è 4,18+, quello di una 4-sfera è 4,93+, per una 5-sfera è 5,26+, ma per una 6-sfera cala a 5,16+ e da qui in poi continua a diminuire: insomma al crescere delle dimensioni una N-sfera comprende sempre meno N-spazio al suo interno. Un altro modo di vedere questo fatto è un paradosso creato da Leo Moser, che ha considerato cosa succede se impacchettiamo un po’ di N-sfere di raggio unitario all’interno di un N-cubo di lato 4. In due dimensioni possiamo vedere qui a fianco il risultato: al centro del quadrato resta spazio per un cerchietto di raggio √2-1. Se passiamo alla terza dimensione, il cubo conterrà otto sfere e al suo centro resterà spazio per un’altra sfera di raggio √2-1. Con la quarta dimensione ci divertiamo già un poco: oltre alle sedici sfere unitarie, nell’ipercubo ce ne possiamo mettere una diciassettesima, visto che quella centrale avrà raggio √4-1 che è proprio 1. Andando avanti con le dimensioni, ci dobbiamo fermare alla nona: infatti il nostro 9-cubo avrà 512 “angoli”, ciascuno con la sua 9-sfera: ma la 9-sfera al centro avrà raggio √9-1, cioè 2, e quindi sarà il “tappo sferico” del cubo, che tappa così poco che appunto lascia spazio per una quantità di palle grandi la metà dell’originale. Ah: David Singmaster ha mostrato come a partire dalla nona dimensione è meglio mettere il tappo ipercubico nel foro ipersferico, e non viceversa. Non riesco assolutamente a visualizzare la cosa, quindi ci credo sulla parola.
Allora, il titolo è corretto?