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Perché le note sono sette?

In questi giorni mi è capitato di chiacchierare con un losco figuro che si chiedeva come diavolo funzionasse la storia degli armonici per trovare le note. La mia risposta iniziale è stata “non c’entrano, è il risultato di duemila e più anni di aggiustamenti”, e poi c’è stato tutto uno scambio di messaggi su come funzionano le cose, dove si scopre che gli armonici sono solo la punta dell’iceberg di uno studio che ha cercato il modo migliore di infilare un tappo tondo in un foro quadrato, o più precisamente “quadrare il cerchio delle quinte”. Però non mi metto a spiegarvi di nuovo la rava e la fava, visto che prima di iniziare questo blog avevo già trattato il tema sul mio blog personale: trovate il tutto a partire da qui, e se proprio la cosa non vi piace c’è pur sempre Wikipedia. Qui invece provo a rispondere a una questione a cui non avevo mai fatto troppo caso: perché le note sono sette?

La domanda è meno peregrina di quanto sembri, soprattutto considerato che in realtà l’ottava è divisa in dodici intervalli – i semitoni – e non si capisce bene da dove esca fuori il numero sette. A dire il vero, quella che presento qui non credo affatto sia la ragione ufficiale della scelta, anche perché gli antichi greci avevano un modo completamente diverso di vedere le scale musicali; ma ho voluto divertirmi a vedere cosa succedeva scegliendo qualche assioma “intuitivo” e traendone le conseguenze logiche. Ditemi poi voi se la cosa vi ha divertito.

Per iniziare, partiamo dalla scoperta dei pitagorici sul suono di corde di spessore e tensione identiche – cosa che darò per scontata nel seguito, per evitare di ripetermi – ma lunghezza diversa. È facile accorgersi che dimezzando la lunghezza della corda si ottiene un suono più acuto ma fondamentalmente simile, che possiamo definire “equivalente” a quello iniziale. Abbiamo così la nostra prima proposizione:

Assioma 1: le note generate da due corde di lunghezza l’una doppia dell’altra possono avere lo stesso nome

Prendiamo pertanto una lunghezza a caso, e chiamiamo DO la nota corrispondente a quella lunghezza. Ma l’assioma ci dice anche un’altra cosa: se una corda di una certa lunghezza suona un DO, lo farà anche una corda di lunghezza un mezzo, un quarto, un ottavo… Da qua si ottiene subito un teorema:

Teorema 1: la “differenza” tra due note è in realtà un rapporto. Due note sono alla stessa distanza se il rapporto delle lunghezze delle corde corrispondenti è lo stesso.

A questo punto permettetemi un anacronismo: invece che la lunghezza della corda inizio a usare il suo inverso, che poi è la frequenza relativa. I greci non avevano il concetto di frequenza ma noi sì, e visto che siamo abituati a usarla, perché farci del male? L’assioma 1 e il teorema 1 diventano così

Assioma 1bis: le note di frequenza l’una doppia dell’altra possono avere lo stesso nome

Teorema 1bis: la “differenza” tra due note è in realtà un rapporto. Due note sono alla stessa distanza se il rapporto delle frequenze corrispondenti è lo stesso.

Ora, proseguire solo con i DO non ci porta molto avanti. Accorgiamoci allora di un’altra proprietà acustica: due note di frequenza una tripla dell’altra sono indubbiamente diverse ma stanno bene assieme, così come due note di frequenza una quintupla dell’altra (il caso di frequenza quadrupla ci dà di nuovo un DO, quindi non conta). Chiamiamo la nota di frequenza tripla SOL e quella di frequenza quintupla MI, e passiamo ad aggiungere un nuovo assioma euristico:

Assioma 2: Due note le cui frequenze sono in un rapporto piccolo (con numeratore e denominatore non superiore a 5) stanno bene assieme.

Riportando nell’intervallo [1,2] le note che avevamo visto prima, abbiamo che il SOL ha frequenza 3/2 e il MI frequenza 5/4. Possiamo però avere altre due note: quella con frequenza 4/3, che chiameremo FA, e quella con frequenza 5/3, che chiameremo LA. Abbiamo pertanto la seguente tabella:

	DO	MI	FA	SOL	LA	DO
frequenza	1	5/4	4/3	3/2	5/3	2

 
A questo punto però abbiamo un piccolo problema: suonare insieme un MI e un FA dà un risultato abbastanza cacofonico. Ma non è così difficile mettere a posto le cose: basta ordinare opportunamente le note, tenendo il DO in mezzo e spostando le altre da una parte e dall’altra. Ecco il nuovo risultato, con una simpatica aggiunta: il rapporto tra due note “consecutive”, o più precisamente tra una nota e la “seguente”.

	FA	LA	DO	MI	SOL
rapporto	5/4	6/5	5/4	6/5
frequenza			1	5/4	3/2
frequenza	4/3	5/3	2

 
La situazione ora è molto simmetrica: come vedete, i rapporti 5/4 e 6/5 si alternano, e soprattutto prendendo tre note consecutive qualunque otteniamo un piacevole accordo, che può presentarsi in due forme: con il rapporto maggiore per primo (come in FA LA DO e DO MI SOL) oppure con il rapporto minore per primo (come in LA DO MI). La cosa più naturale da fare, per un essere umano, è proseguire il pattern, e ampliare la lista. Ecco che si ottiene inserendo una nuova nota, che chiameremo RE, alla sinistra e un’altra nota, un SI, alla destra:

	RE	FA	LA	DO	MI	SOL	SI
rapporto	6/5	5/4	6/5	5/4	6/5	5/4
frequenza				1	5/4	3/2	15/8
frequenza	10/9	4/3	5/3	2

 
Abbiamo trovato dei numeri con coefficienti un po’ più grandi, ma i due nuovi accordi sono anch’essi piacevoli. E quel che è ancora più bello è che aggiungendo ancora una nota alla destra troviamo di nuovo un RE! Abbiamo insomma chiuso il cerchio, ottenuto tre accordi “maggiori” (FA LA DO, DO MI SOL, SOL SI RE) e tre accordi “minori” (RE FA LA, LA DO MI, MI SOL SI), e creato / scoperto / definito (scegliete voi il verbo) sette note. Tutto torna!

Teorema 2: Dati gli Assiomi 1 e 2, si ottengono sette note.

Beh, non proprio: in effetti ho barato. Il RE che si ottiene a destra del SI non è lo stesso RE che si è ottenuto a sinistra del FA; quest’ultimo, come avete visto, ha una frequenza pari a 10/9 mentre il primo ha frequenza 9/8 (che tra l’altro è la frequenza ufficialmente considerata quella “corretta” nella cosiddetta intonazione naturale). Il guaio è sempre lo stesso: è impossibile che una potenza positiva di 3 abbia lo stesso valore di una potenza positiva di 2. L’errore in questo caso è dato dal rapporto tra 10/9 e 9/8: vale a dire 81/80 (il comma di Didimo), o se guardate il rapporto dall’altro lato 80/81 (il comma sintonico). In genere l’errore lo si trova quando si usa il circolo delle quinte per trovare i dodici semitoni in cui viene generalmente divisa l’ottava, andando avanti per intervalli di quinta (il mio DO-SOL); questa mia costruzione usa terze maggiori (DO-MI) e terze minori (LA-DO), ma arriva allo stesso risultato pratico.

Tutta la teoria dell’accordatura degli strumenti, come scrivevo all’inizio di questo post, ha cercato di trovare un “buon” modo per distribuire questo errore tra le varie note nella maniera il più nascosta possibile. I curiosi possono valutare la bontà del proprio orecchio ascoltando, grazie a Wikipedia, il primo preludio del Clavicembalo ben temperato suonato con due accordature diverse: quella equabile che usiamo solitamente, e quella Werckmeister III. Confesso che in questo caso io non sono riuscito a cogliere le differenze, anche se in altre occasioni mi è saltata subito all’orecchio la differenza.

Resta però la certezza che se si arriva a sette note siamo “quasi” a posto, e questo è il massimo che si riesca a ottenere senza andare a usare una quarantina di note diverse. Ecco il perché di un numero così difficilmente divisibile!