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Vero o falso 2

Mentre preparavo il post della scorsa volta, mi sono ricordato di aver letto alcuni mesi fa su un qualche blog qualcosa del genere, con una lista infinita di affermazioni e qualche paradosso. Non mi ricordavo affatto quale fosse il blog e di chi fosse il paradosso; alla fine sono riuscito a ricordarmi quest’ultimo stesso – un paradosso interessante, almeno per chi si diverte con queste cose – e tornato ad avere una connessione decente sono riuscito a scoprire che è stato definito nel 1993 da Stephen Yablo.

Supponiamo di avere una lista di N affermazioni come le seguenti, e volere stabilire quali siano vere e quali false:

1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
2. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
…
N. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.

Memori dei problemi della volta scorsa, iniziamo con un caso semplice ma non troppo, cioè N=2. Peccato che ci fermiamo lo stesso subito, leggendo la seconda (e ultima) affermazione. Di “affermazioni successive” ad essa non ce ne sono: che diavolo significa, allora? Beh, qui entrano in gioco le mirabolanti probabilità dell’insieme vuoto, che ci fanno dire che l’affermazione è senz’altro vera. Le regole formali delle inferenze logiche affermano infatti che il suo essere falsa è equivalente a dire che esiste un’affermazione successiva che è vera: trovatela, se ci riuscite. (Qualcuno potrebbe obiettare che con lo stesso ragionamento si dimostra che se l’ultima affermazione fosse “Tutte le affermazioni successive a questa sono vere”, anch’essa sarebbe vera. Appunto: le mirabolanti proprietà dell’insieme vuoto.)

La seconda affermazione quindi è vera, pertanto la prima è falsa, per la ragione spiegata sopra: non c’è più l’insieme vuoto, finalmente. Lo stesso risultato capita con un numero qualunque N di affermazioni, da tre in su; l’ultima della lista è l’unica a essere vera, le altre false. In questo caso avremmo anche potuto generalizzare al caso N=1, a dire il vero; semplicemente, la singola affermazione, essendo l’unica presente e quindi l’ultima, è vera. Devo però dire che se leggo una “lista” composta dalla singola frase “1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false”, più che valutarne verità o falsità mi viene voglia di valutare le facoltà mentali di chi l’ha scritta…

Passiamo ora, come avrete intuito, al caso infinito. Ci troviamo ω affermazioni:

1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
2. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
…
N. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
N+1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false.
…

Mo’ che si fa? L'”ultima” affermazione non c’è! Per stabilire verità o falsità delle affermazioni, dovremo lavorare in maniera indiretta. Immaginiamo che l’affermazione in posizione k sia vera: tutte quelle da k+1 in poi saranno pertanto false. Ma consideriamo l’affermazione in posizione k+1. Visto che per ipotesi essa è falsa, significa che ci dev’essere almeno un’altra affermazione successiva, diciamo in posizione m, che è vera. Ma se m è successiva a k+1, allora è successiva anche a k; quindi l’ipotesi era errata. Dato che k è qualunque, possiamo stabilire con molta fiducia che tutte le affermazioni sono false. Quod erat demonstrand… Oops! Avete visto cosa è successo? Se tutte le affermazioni sono false, allora ciascuna di esse è vera! Insomma, abbiamo un paradosso.

La cosa divertente è che basta aggiungere un’affermazione dopo quella di numero ordinale ω perché il paradosso sparisca. Infatti, se abbiamo come ultima affermazione “ω+1. Tutte le affermazioni successive a questa nella lista sono false”, questa sarà vera, e tutte le infinite precedenti possono essere false senza tema di paradosso. Naturalmente, il paradosso si ripresenterebbe se la lista contenesse 2ω affermazioni, o un qualunque ordinale limite, quelli insomma che non hanno ultimo elemento nella lista.

Cosa succede se proviamo a cambiare leggermente le frasi? Proviamo con

1. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.
2. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.
…
N. Tutte le affermazioni precedenti a questa nella lista sono false.…

Nel caso finito, il procedimento è lo stesso: la prima affermazione è vera per le mirabolanti proprietà dell’insieme vuoto, e le altre sono pertanto false. Ma anche nel caso infinito succede la stessa cosa! La prima affermazione, in fin dei conti, continua a esserci; e che importa se l’affermazione di indice ω+1 non ne ha una immediatamente precedente, visto che tanto noi le controlliamo tutte in un colpo solo… Niente simmetria, insomma.

Un ultimo commento: preparando questi post ho forse capito perché Cantor è impazzito… Con gli infiniti è meglio non scherzare.