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Vero o falso?

Supponete di dovere stabilire la verità o la falsità di tutte le affermazioni di una lista, affermazioni che naturalmente sono autoreferenziali – o se preferite listareferenziali – perché altrimenti non ci sarebbe gusto. Le affermazioni della lista sono cento:

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.
3. Questa lista contiene esattamente tre affermazioni false.
…
99. Questa lista contiene esattamente novantanove affermazioni false.
100. Questa lista contiene esattamente cento affermazioni false.

Come affrontare il problema?

La prima idea che può venire in mente è iniziare con un caso più semplice. Prendiamo allora una lista con una sola affermazione, la prima: dire “1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.” equivale a dire “Questa affermazione è falsa”, il che come ben ricordate è un paradosso. Occhei, forse abbiamo esagerato troppo a semplificare… oppure c’è qualcosa di inquietante. Per esserne certi, passiamo al caso successivo:

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.

Chiaramente le affermazioni sono mutualmente esclusive, quindi non possono essere entrambe vere. Non possono essere entrambe false, perché la seconda frase allora sarebbe vera il che è assurdo. Se ce ne fosse una sola falsa, la prima frase sarebbe vera e la seconda falsa, e quindi in effetti la soluzione è corretta. Niente paradossi, per fortuna.

Se volete, potete provare il caso di una lista di tre elementi; ma sono certo che voi siete abbastanza perspicaci da aver già capito il pattern. Tra le cento affermazioni, al più ne può essere vera una. Se non ne fosse vera nessuna, allora lo sarebbe la centesima, il che è impossibile. Se ce n’è una sola vera, 99 sono false e quindi l’affermazione vera è la novantanovesima. Questo vale per un qualunque numero di affermazioni nella lista, da 2 in su; l’unica frase corretta è la penultima.

Bene, esageriamo un po’. Se la lista è infinita?

1. Questa lista contiene esattamente un’affermazione falsa.
2. Questa lista contiene esattamente due affermazioni false.
3. Questa lista contiene esattamente tre affermazioni false.
…
N. Questa lista contiene esattamente N affermazioni false.
N+1. Questa lista contiene esattamente N+1 affermazioni false.
…

Sappiamo che al più una delle affermazioni può essere corretta; però la “penultima” affermazione non esiste! La soluzione corretta è quindi dire che tutte le affermazioni sono false, il che in effetti è sensato visto che presa una qualunque delle affermazioni essa sarebbe falsa. Toh, anche le generalizzazioni troppo spinte sono esagerate…

In un momento di follia (da qui in poi potete smettere di leggere, insomma, anche perché potrei sbagliarmi della grossa!) avevo provato ad aggiungere ancora affermazioni: essendo una lista, le singole frasi hanno un numero di ordine che è un ordinale (che fantasia!) e quindi dopo infiniti elementi possiamo continuare con

…
ω+1. Questa lista contiene esattamente ℵ₀ affermazioni false.
ω+2. Questa lista contiene esattamente ℵ₀ affermazioni false.
…

(nota: dopo le infinite affermazioni, la prima che c’è ha numero d’ordine ω+1, perché è appunto quella dopo ω) Avrete sicuramente notato come la quantità di affermazioni false non è un ordinale ma un cardinale, e continua ad essere lo stesso. D’altra parte, se hai una lista infinita per definizione gli elementi sono numerabili e la sua cardinalità è ℵ₀: se serve, potete rinfrescarvi la memoria con quanto scrissi a suo tempo. Allora, quante sono le affermazioni vere?

Beh, le prime infinite, nel senso di ω, affermazioni continuano a essere tutte incompatibili tra loro. Anche se ce ne fosse una vera, ne rimarrebbero sempre infinite, nel senso di ℵ₀, errate, giusto? Quindi abbiamo due conseguenze: tra le prime infinite, nel senso di ω, non ce n’è nessuna di vera, e tutte le affermazioni dalla ω+1 in poi sono vere, e ce ne possono tranquillamente essere infinite, di nuovo nel senso di ℵ₀. Abbiamo insomma un risultato ancora diverso da quello che ci potevamo aspettare. Mai fidarsi dell’infinito.