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Il Premio Abel 2012 a Endre Szemerédi

Sapete cos’è il Premio Abel? È il premio Nobel per la matematica. Ho già raccontato che la storia di Alfred Nobel che non creò il premio per la matematica per una questione di corna è una leggenda metropolitana: più interessante forse sapere che nel 1902 il re di Svezia aveva anche pensato a istituirlo per conto proprio, più o meno come avvenne qualche decennio dopo con il cosiddeto Nobel per l’economia che ufficialmente è il “premio per l’economia in memoria di Alfred Nobel”; ma la separazione della Norvegia dalla Svezia tre anni dopo, oltre a lasciare a Oslo il Nobel per la pace, bloccò il progetto, che fu ripreso solo un secolo dopo per il bicentenario della nascita di Henrik Abel (più un anno, visto che il primo premio venne assegnato nel 2003 e Abel nacque nel 1802). A differenza delle medaglie Fields che sono assegnate solo a matematici under 40, il premio Abel è un riconoscimento globale, proprio come il Nobel. (Due parole su Abel: matematico norvegese, morto a 27 anni di tubercolosi che gli era anche stata diagnosticata ma che lui era convinto di non avere, sfigato anche come matematico visto che il pio e disordinato Cauchy perse le memorie consegnategli. Fare algebra all’inizio del XIX secolo non portava bene)

Il premio Abel 2012 è stato assegnato al matematico ungherese Endre Szemerédi, “per i suoi contributi fondamentali nella matematica discreta e informatica teorica, e il loro profondo e duraturo impatto nella teoria dei numeri additiva e nella teoria ergodica.” Il primo problema è riuscire a capire come si pronuncia il cognome: Wikipedia dice “sèmereidi”, e io sono costretto a fidarmi. La teoria ergodica è quella che studia il comportamento nel lungo periodo di un sistema dinamico: per esempio, se si mette una palla sull’angolo un biliardo di formato A0 e la si lancia in direzione della bisettrice tra le due sponde, si può dimostrare che in teoria dovrebbe toccare tutti i punti del biliardo. La teoria dei numeri additiva invece, come dicono le parole stesse, studia (gli insiemi di) numeri interi e come si comportano rispetto all'”addizione”, cioè a cosa succede quando si crea un nuovo insieme avente come elementi la somma di elementi degli insiemi dati. La congettura di Goldbach, quella che afferma che ogni numero pari è esprimibile come somma di due numeri primi, è un esempio: abbiamo la somma di due copie dell’insieme dei primi. Come spesso capita nella teoria dei numeri, gli enunciati sono facili da spiegare, visto che coi numeri interi ci abbiamo tutti a che fare: lo sono un po’ meno da dimostrare…

Szemerédi dev’essere un tipo simpatico: lo si capisce non solo dalla faccia, ma anche dal testo di questa intervista. Il nostro spiega che per due anni ha fatto il dottorato con il matematico sbagliato, Gelfand invece che Gelfond: quando fece la domanda, confuse le due lettere cirilliche. Peccato che lui sia sempre stato interessato alla matematica discreta, e quindi non capisse un tubo del suo relatore ufficiale: e peccato che quando alla fine riuscì a contattare Gelfond con la O e a strappargli la promessa di farlo diventare suo studente di dottorato, quello dopo due mesi ebbe un infarto e morì. Parlavamo di sfiga dei matematici? Szemerédi spiega anche che ha cominciato a fare matematica tardi, a 22 anni, perché suo padre voleva facesse il medico; solo che sentiva una responsabilità troppo grande, e ci volle un po’ prima che decidesse di passare alla matematica, seguendo come maestri Paul Turan e Paul Erdős. Racconta anche che se ne è andato negli USA lasciando la Cortina di Ferro… perché di là avrebbe guadagnato di più: in compenso, anche se è un esperto “di internet” ed è membro del dipartimento di informatica della Rutgers University, non sa usare un computer. Lui legge le email, e sua moglie scrive le risposte :-)

Ci sono svariati risultati in matematica che portano il nome di Szemerédi, e sono tutti nel mare magnum tra la combinatoria, la teoria dei numeri additiva, e la teoria dei grafi. In effetti i contributi informatici evidenziati nell’assegnazione del premio Abel vertono appunto sulla struttura di Internet, con le connessioni tra i vari server che formano un enorme grafo. Il teorema di Szemerédi vero e proprio è però probabilmente il risultato più interessante: come dicevo sopra, dimostrarlo è al di là delle mie conoscenze, ma almeno posso spiegare di che tratta, con l’aiuto di Plus Magazine.

Cosa sia una progressione aritmetica, dovreste ricordarvelo dalle elementari: un insieme ordinato crescente o decrescente di numeri tale che la differenza tra due elementi consecutivi sia sempre la stessa. Chessò: 15, 24, 33, 42, 51 è una progressione aritmetica di cinque elementi e di ragione (la famigerata differenza…) 9. Prendiamo ora un insieme infinito di numeri interi, e chiediamoci qual è la progressione aritmetica più lunga che vi si possa trovare. Per esempio, con i numeri pari possiamo trovare progressioni infinite: invece con l’insieme {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …} vi potete convincere in fretta che non ci sono progressioni molto lunghe. Ce ne sono di lunghezza 1 (un singolo numero qualsiasi…); ce ne sono di lunghezza 2 (due numeri qualsiasi…) ma probabilmente ci fermiamo lì. I matematici naturalmente si sono subito chiesti come fare a capire quando si possono trovare progressioni più o meno lunghe, e hanno tirato fuori il concetto di densità di un insieme sugli interi: in pratica il limite del rapporto tra il numero di interi nell’insieme minori o uguali a un valore dato N, quando N tende a infinito. Può darsi che questo limite non esista: in questo caso si usa il concetto un po’ più complicato di limite superiore (se non vi piace la definizione di Wikipedia, pensate al limite superiore in questo modo: se invece che tutta una successione ne prendete solo una parte in modo da averne una che ha un limite, il limite superiore è sempre maggiore o uguale ad esso, e non si può abbassarlo ulteriormente).

Ordunque: una congettura di Turan e Erdős (i due di cui sopra) affermava che se questa densità è strettamente maggiore di zero allora è possibile trovare all’interno di un insieme infinito di interi una progressione aritmetica di lunghezza grande a piacere (ma non necessariamente infinita, attenzione!) Nel 1953 Klaus Roth dimostrò che c’era almeno una progressione di lunghezza tre. Nel 1969 Szemerédi portò la lunghezza a quattro. Come avrete capito, il lavoro sembrava improbo, specialmente perché non si riusciva a trovare un modo generale per affrontare il problema: beh, nel 1975 Szemerédi di colpo dimostrò la congettura complessiva: per ogni k si può trovare una successione aritmetica di lunghezza k.

Come ormai avrete intuito, un conto è dimostrare un teorema: altra cosa ben più importante è inventarsi procedure per la dimostrazione che servano a dimostrare altre cose. La matematica va avanti in questo modo. Beh: a partire dalle tecniche di Szemerédi nel 2004 Ben Green e Terence Tao hanno dimostrato che lo stesso risultato (per ogni k si può trovare una successione aritmetica di lunghezza k) vale anche per la successione dei numeri primi, che di per sé ha densità nulla ma a quanto pare ha comunque abbastanza numeri. Naturalmente il risultato è puramente di esistenza: la più lunga successione nota al momento è di 26 numeri, trovata con il progetto distribuito PrimeGrid, ed è formata dai numeri 43.142.746.595.714.191 + 23.681.770 · 223.092.870 · n, con n che va da 0 a 25. Sono certo che vi starete chiedendo perché non è stato scritto il prodotto esplicito: banalmente perché 223.092.870 è il prodotto dei primi da 2 a 23, e probabilmente chi ha calcolato il tutto ha preferito fare così.

Come al solito, tutto questo non serve a nulla: ma un matematico non si preoccupa mica…