backup del Post

Morra

Nello scorso millennio – eravamo addirittura ancora negli anni ’70… – venni interrogato in italiano sul capitolo VII dei Promessi Sposi. Come al solito non avevo studiato, e l’interrogazione andò così così: come ultima domanda il professore mi chiese “visto che ti piacciono i numeri, vediamo che mi rispondi. Quando Renzo, Tonio e Gervaso vanno all’osteria per i preparativi del tentato matrimonio, ci sono due persone che giocano alla morra, e si sente pronunciare un numero. Che numero è?” Io risposi parecchio tutibante “sei?”; mirable dictu, era proprio quel numero. Ma cosa ha a che fare tutto questo con la matematica? Più di quanto sembrerebbe.

La morra è un gioco antichissimo. Anche non considerando le immagini trovate in tombe egizie che magari facevano tutt’altro, è assodato che i soldati romani ci giocassero già; non per nulla è diffusa in tutto il bacino del Mediterraneo. Le regole di gioco sono molto semplici, e descritte mirabilmente dal Manzoni, anche se quella linguaccia del Giampaolo Dossena buonanima sentenzia nella sua Enciclopedia dei giochi che don Lisander non aveva osservato bene le partite:

«Entrati, videro gli altri, de’ quali avevan già sentita la voce, cioè que’ due bravacci, che seduti a un canto della tavola, giocavano alla mora, gridando tutt’e due insieme (lì, è il giuoco che lo richiede), e mescendosi or l’uno or l’altro da bere, con un gran fiasco ch’era tra loro. Questi pure guardaron fisso la nuova compagnia; e un de’ due specialmente, tenendo una mano in aria, con tre ditacci tesi e allargati, e avendo la bocca ancora aperta, per un gran “sei” che n’era scoppiato fuori in quel momento, […]»

I due giocatori stendono contemporaneamente le braccia, mostrando da una a cinque dita e contemporaneamente urlando un numero che dovrebbe corrispondere alle dita totali mostrate da entrambi. Se uno indovina il numero ottiene un punto, e vince che raggiunge per primo un punteggio prefissato.

Di primo acchito si potrebbe immaginare che il 6 sia stato scelto da Manzoni perché è il punteggio più probabile che si può ottenere in un singolo lancio alla morra, proprio come il 7 è il punteggio più probabile che si può ottenere lanciando due dadi: infatti ci sono cinque possibilità (1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1) mentre tutti gli altri risultati possono capitare al piu quattro volte. Mi sa che la mia risposta fosse stata scelta proprio per questo: peccato che il ragionamento sia fallace, perché quando gioco alla morra so cosa io mostrerò, e le cinque somme totali possibili hanno la stessa probabilità. Eppure c’è una ragione molto pratica perché spesso i giocatori dicano “sei”. La morra è giocata molto velocemente, e non solo non si ha spesso tempo di elaborare una strategia di gioco, ma non si ha neppure tempo di sincronizzare l’azione manuale (mostrare un certo numero di dita) e quella vocale (pronunciare un numero). Così può capitare che qualcuno mostri due dita urlando al contempo “otto!”, oppure mostri quattro dita e urli “quattro!” suscitando l’ilarità degli astanti che non perdono l’occasione per sbertucciare il tapino. Come evitare questo guaio? Semplice: se uno grida “sei” è sicuro di non sbagliare in questo modo. I giocatori scafati lo sanno bene, e quindi tendono a pronunciarlo spesso. Manzoni non avrà visto bene il movimento delle braccia, ma sicuramente aveva le orecchie bene attente, insomma!

Ma col nome di morra, a parte questo gioco ufficialmente vietato in tutta Italia tranne che nella provincia autonoma di Trento (almeno Wikipedia afferma così), esiste anche una versione che ha in comune solo lo stendere la mano: la cosiddetta “morra cinese”, che pensavo avesse a che fare con la Cina esattamente quanto l’insalata russa ha a che fare con la Russia ma a quanto pare risale davvero alla dinastia cinese Han (200 a.C. – 200 d.C. circa). Non so neppure se sia necessario spiegare le regole: i due giocatori possono scegliere di mostrare il pugno chiuso (sasso), la mano aperta (carta) o solo indice e medio (forbice), sapendo che forbice vince su carta perché la può tagliare, sasso vince su forbice perché la spunta, carta vince su sasso perché lo può avvolgere.

Ci sono tanti aneddoti, non si sa quanto apocrifi, sulle strategie per vincere alla morra cinese, immaginando di avere un certo numero di partite consecutive: la teoria dei giochi insegna che la strategia migliore per ciascuno dei giocatori è scegliere a caso ogni volta quale segno usare, mentre la pratica insegna che contro un giocatore “normale” si può sfruttare la sua incapacità a essere davvero casuale, scoprire i suoi pattern inconsci e iniziare a giocare tarandosi su quelli. Esiste(va) anche un programma nato agli albori del web, Roshambot, che sfruttava proprio questo sistema: purtroppo la versione con registrazione non esiste più, quindi si può solo fare qualche partita online di seguito.

E i due gesti sotto il disegno cosa sono, vi chiederete? Semplice: a destra è raffigurato Spock, o meglio il suo saluto trekkiano “Lunga vita e prosperità”, mentre a sinistra dovrebbe esserci una lucertola. Mi dicono che nella serie televisiva The Big Bang Theory sia stata pubblicizzata questa variante un bel po’ più complicata del gioco, le cui regole sono riassunte nella figura qui a fianco. Non ci sono più solo tre regole, ma ben dieci; in compenso la probabilità di un pareggio scende, passando da una su tre a una su cinque. Ma non sarebbe bastato aggiungere un singolo gesto per complicare un poco ma non troppo il gioco? La prima risposta che vi dovrebbe venire in mente è “no”; la seconda “sì, ma non so se ne valga la pena”. Riuscite a capire il perché senza leggere qui sotto?

La prima risposta è abbastanza chiara pensando al fatto che il gioco deve essere equo: se si usa un numero pari di gesti, per ciascuno di essi resta un numero dispari di gesti diversi da accoppiare, il che significa che alcuni simboli sarebbero avvantaggiati (è più facile perdere che vincere contro di essi) e altri svantaggiati. Insomma, una situazione piuttosto brutta. Però si può ovviare in almeno tre modi distinti a questa asimmetria. Il sistema più semplice di tutti è… fare spallucce. È vero infatti che uno potrebbe tendere a usare i segni più avvantaggiati; ma l’avversario potrebbe immaginarlo e scegliere apposta i più rari segni vincenti. Potrebbe essere interessante scoprire qual è la strategia vincente in questo caso: ovvie ragioni di simmetria mi fanno immaginare che il gioco resterebbe comunque equo, ma le probabilità di scelta di ciascun segno non sarebbero le stesse. La seconda è ammettere degli ulteriori pareggi, oltre a quelli che si hanno quando i due giocatori scelgono lo stesso segno: per esempio potremmo aggiungere ai tre segni canonici la lucertola decidendo che la carta cattura la lucertola ma pareggia col sasso, mentre la lucertola vince sul sasso perche ci sale sopra, e pareggia con le forbici. Il gioco non mi sembra una grande idea, visto che la probabilità di pareggiare aumenta a 1/2. La terza possibilità è di abolire del tutto i pareggi: è la più complicata di tutte, perché richiede una rottura della simmetria – “carta vince carta” non può valere per entrambi i giocatori, quindi per metà dei gesti vincerà uno dei due e per l’altra metà il secondo – lasciando pertanto il vantaggio su alcuni segni. Capite insomma che anche se i protagonisti di The Big Bang Theory sono nerd e geek non è poi strano che abbiano scelto la via più semplice…

Come avete visto, semplici considerazioni di parità aprono un mondo nuovo su un gioco apparentemente semplice come la morra cinese, esattamente come considerazioni numeriche mostrano come la morra non è poi così casuale come sembra. Non ditemi che la matematica se ne sta sempre nell’empireo!