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Quaternioni e ottetti (per non parlar di sedenioni)

Se ricordate, quando avevo parlato dei numeri complessi avevo spiegato come fossimo arrivati alla fine della storia: partendo dai numeri naturali si erano aggiunti quelli frazionari per potere eseguire le divisioni, quelli negativi per poter eseguire le sottrazioni, quelli irrazionali per poter estrarre le radici o calcolare un logaritmo o banalmente per trovare un posto al pi greco, e quelli complessi per risolvere equazioni come x²+1=0. Però le soluzioni di una qualunque equazione a coefficienti complessi sono ancora numeri complessi, quindi non c’era più bisogno di aggiungere nulla; peggio ancora non si sapeva nemmeno cosa aggiungere.

Ma da quando in qua un matematico si lascia distrarre da simili quisquilie? Ecco. Sir William Rowan Hamilton decise che qualcosa doveva pur esserci. In fin dei conti Argand, e poi Gauss, avevano mostrato che il piano dei numeri complessi permetteva di visualizzare le operazioni di traslazione (addizione) e rotazione (moltiplicazione, a meno di un fattore Enlarge Your Vector dato dal modulo del secondo vettore). Perché non si potrebbe fare lo stesso con le rototraslazioni nello spazio? Basta aggiungere a 1 e i una terza unità j, e trovare le giuste relazioni. Peccato che queste giuste relazioni non si trovassero, e l’ex bambino prodigio cominciava a perdere la speranza… fino al 16 ottobre 1843.

Quel giorno Hamilton stava passeggiando per le vie della sua Dublino insieme alla moglie. Invece che stare a sentire quello che lei le diceva, probabilmente il suo subconscio continuava a pensare al problema, e a un tratto la soluzione gli balzò in testa. Occorreva aggiungere una quarta unità k! Da qui il nome di quaternioni assegnato a questi nuovi numeri, e la lettera H scritta col font buffo che li contraddistigue: la Q era già stata assegnata ai numeri razionali e così si è presa l’iniziale di Hamilton. Naturalmente le unità immaginarie i, j e k dovevano essere tra loro correlate, visto che il nostro spazio di dimensioni ne ha solo tre: le relazioni sono date dalle uguaglianze

 i² = j² = k² = ijk = −1

Hamilton fu così felice della sua scoperta che si mise a incidere quelle formule come un graffitaro qualunque sulla sponda del Broom Bridge, il ponte sul Royal Canal che stava percorrendo. Non doveva però essere molto bravo a incidere sulla pietra, oppure i dublinesi avevano un ottimo servizio di ripulitura, perché il testo non esiste più: in compenso hanno messo una targa commemorativa.

Occhei, mi chiederete: qual è il trucco? Non tanto perché serve una terza unità immaginaria, visto che a posteriori le si possono associare alle rotazioni rispetto ai tre assi; quanto piuttosto perché non riuscivamo ad ampliare la struttura dei numeri complessi. La ragione è semplice, una volta che qualcuno la spiega. Quanto vale ij? Se postuliamo che sia x, possiamo moltiplicare i due membri dell’equazione ij=x per k e ottenere ijk=xk; ma il membro a sinistra vale −1, pertanto x deve essere uguale a k. Quanto vale invece ji? Avete detto k? Sbagliato! Se così fosse, allora ijji sarebbe uguale a ijk; peccato che quest’ultimo prodotto valga −1, mentre il primo vale i(-1)i = −i² = 1. Insomma, ji = −k, o se preferite ji=−ij. Colpo di scena!

Beh, confesso di avere un po’ barato quando ho fatto questi passaggi algebrici, perché sapevo già dove volevo arrivare; però garantisco che sono tutti validi. Quella che non è appunto valida è la proprietà commutativa della moltiplicazione: mentre 6×7 è sicuramente identico a 7×6, questo non è più vero quando si moltiplicano due di questi numeri più che immaginari, e si può ottenere il risultato opposto. Con il senno di poi, la cosa non è così strana: se si prende un segmento sull’asse x di uno spazio tridimensionale e lo si ruota di novanta gradi prima rispetto all’asse y e poi a quello z, il risultato è l’opposto di quello che si otterrebbe invertendo l’ordine delle rotazioni. Insomma, la geometria tridimensionale (o meglio le trasformazioni dello spazio tridimensionale) è intrinsecamente non commutativa, e pertanto anche la definizione di una struttura matematica che la rappresenti deve avere una moltiplicazione non commutativa.

Noticina collaterale: l’addizione non dà mai problemi nella creazione di questi tipi di numeri costituiti da più parti, come i complessi a+bi e i quaternioni a+bi+cj+dk. Basta sommare componente per componente, applicando cioè la cosiddetta “regola del parallelogramma” che funziona in tutti gli spazi vettoriali, vale a dire per tutte le n-uple di numeri. L’addizione è pertanto sempre commutativa (x+y = y+x) e associativa (x+(y+z) = (y+z)+z): però quello che serve davvero è la moltiplicazione, che rende più coesa la struttura stessa. Fino ai complessi potevamo applicare alla moltiplicazoine sia l’associatività che la commutatività; con i quaternioni perdiamo quest’ultima.

Se qualcuno ora mi viene a chiedere a che diavolo servono questi quaternioni, la risposta è semplice: tutti i videogiochi 3D, o più banalmente il software per visualizzare modelli tridimensionali, usano i quaternioni per le routine di trasformazione delle immagini. Spero che questo gli basti. Se invece qualcuno mi chiede se c’è un altro modo, anzi un altro modello, per vedere i quaternioni, la risposta è sì. Anzi ce ne sono tanti di modelli, come si può vedere nella voce su Wikipedia: ma ci ho pensato un po’ su e ho deciso che si può vivere felici anche senza conoscerli tutti (a meno che non siate matematici, si intende).

Dopo che Hamilton aveva rotto il ghiaccio e mostrato che si poteva superare il muro dei complessi, è inutile aggiungere che subito si cercò di trovare numeri ancora più generali dei quaternioni. Dovrebbe esservi chiaro che si deve ancora cedere qualcosa per continuare ad ampliare; e potete immaginare che la vittima successiva sarà l’associatività. E infatti è proprio così: nello stesso 1843 un amico di Hamilton, il giurista irlandese John T. Graves, immaginò quelle che lui chiamò “ottave”; due anni dopo Arthur Cayley definì formalmente gli ottetti (oppure “ottonioni”, se il nome vi piace di più). Le unità immaginarie sono sette, e per evitare di consumare tutto l’alfabeto vengono chiamate e₁, e₂, … e₇; ciascuna di esse elevata al quadrato dà −1, e il prodotto di due di esse cambia segno se si cambia l’ordine dei fattori; se infine si prendono tre unità diverse e si calcola (e_re_s)e_t ed e_r(e_se_t), ogni tanto il risultato sarà identico e ogni tanto verranno due valori opposti. Se proprio volete vedere la tabellina di moltiplicazione completa, Wikipedia è la vostra amica: qui ho già scritto troppo. Tanto non ho mai scoperto un uso pratico degli ottetti che non sia scrivere un articolo, quindi potete dormire tranquilli.

Termino raccontando che esiste una costruzione (chiamata di Cayley–Dickson) che permette di continuare a raddoppiare ad infinitum le dimensioni della struttura algebrica. Ma che cosa si può perdere, ora che le due proprietà di base della moltipicazione sono già state buttate alle ortiche? Esiste ancora l’ultimo tabù: due numeri diversi da zero che moltiplicati tra loro danno zero. Non rabbrividite: funziona allo stesso modo con l’aritmetica modulare. Se lavoriamo modulo dodici, 3×4=0. L’unico di questi esempi a cui è stato dato un nome è quello dei sedenioni; il nome direi che è più che sufficiente per capire che è ora di lasciar perdere…

Post Scriptum: a dire il vero tre anni prima di Hamilton il matematico francese Olinde Rodrigues aveva già trattato dei quaternioni, o per la precisione dei gruppi di trasformazione dello spazio. Peccato che nessuno si era accorto della cosa, anche perché l’occupazione principale di Rodrigues era il bancario. E addirittura nel 1819 qualcuno aveva scritto, ma non pubblicato, un saggio sui quaternioni. Lascio all’assiduo mio lettore il facile compito di immaginare chi avesse pensato che la scoperta non fosse ancora sufficientemente matura.