Esercizi o problemi?
Il libro di Paul Zeitz che sto leggendo, The Art and Craft of Problem Solving, dovrebbe insegnare i trucchi per risolvere i problemi matematici. Non so se è vero, sono ancora all’inizio. Però mi è piaciuta molto la distinzione che l’autore ha fatto tra problema ed esercizio, anche perché credo che sia un punto fondamentale nel capire perché tanta gente odia la matematica. Ma andiamo con ordine.
Per Zeitz, un esercizio è qualcosa che si sa esattamente come risolvere: se dato come compito a scuola, richiederà con tutta probabilità di usare gli argomenti appena svolti a lezione. Attenzione: non è detto che si riesca a risolvere un esercizio, perché magari si sbagliano i conti oppure non ci si ricorda in tutti i suoi particolari il concetto che si sa dovere usare. Per fare un esempio della vita reale, montare un mobile Ikea è un esercizio: le istruzioni sono tutte disegnate in quel foglietto senza parole che viene spacciato per manuale. Che un imbranato come me non riesca mai a ottenere un risultato perfetto al primo colpo è un fatto secondario per il progettista Ikea – per me non lo è affatto, ma spero abbiate colto la similitudine.
Un problema è invece qualcosa che non sappiamo affatto come affrontare, e per cui dobbiamo costruirci il percorso che porta alla soluzione. Per tornare alla similitudine precedente, non solo non abbiamo il manuale ma non abbiamo nemmeno i pezzi del mobile! C’è solo un magazzino da cui prelevare viti e chiodi, e magari una sega e una pialla oltre a tronchi di legno da tagliare secondo la forma che ci occorre. Con un po’ di allenamento probabilmente certe cose si fanno in automatico, ma la logica rimane comunque quella che il lavoro è da capire prima ancora che da fare.
Come esempio di problema matematico, eccone uno dalle prime pagine del libro, quindi relativamente semplice. Dopo l’esposizione metto la risoluzione; potete pertanto scegliere se provare a risolverlo da voi, leggere qual è stato il mio modo di pensare, oppure saltare tutto fino al simbolo di Halmos ∎ e andare alle considerazioni didattiche che sono la parte più importante di questo post. Non mi offendo comunque.
Il problema, proposto alla Putnam Mathematical Competition nel 1990, è il seguente. Sia T0 = 2, T1 = 3, T2 = 6, e per n ≥ 3 valga la relazione di ricorrenza Tn = (n+4)Tn−1 − 4nTn−2 + (4n−8)Tn−3
I primi termini della successione Tn sono 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, 363392. Trovate una formula esplicita per Tn del tipo Tn = An + Bn, dove An e Bn sono successioni ben note.
Per prima cosa, vorrei far notare come il problema sia stato facilitato (lo so, molti di voi non ci credono affatto): sono stati già esplicitati i primi valori che quindi non dobbiamo calcolarci noi, e ci viene detto che tipo di formula cercare. Prendiamo, portiamo a casa e andiamo avanti; o meglio, vi spiego come sono andati avanti io. Leggendo il problema, ho notato inizialmente che 14=6·2+2, 40=14·3−2, 152=40·4−8. Questa in realtà è una falsa pista, ma mi ha permesso di notare che 40576 è quasi 5168·8 e 363392 è quasi 440576·9; quindi ho pensato che An potesse essere n!. Scritti i primi fattoriali 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040 ho calcolato le differenze con i valori di Tn, che sono pari a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… toh, quindi Bn è uguale a 2n. A questo punto non mi restava che dimostrare la congettura, cosa che ovviamente si fa per induzione; solo che non avevo voglia di alzarmi per prendere carta e penna e quindi ho dichiarato risolto il problema. ∎
Che dire di tutto questo? Beh, innanzitutto penso sia chiaro che un problema può contenere al suo interno degli esercizi. Nel problema qui sopra la parte di dimostrazione della congettura è chiaramente un esercizio: uno studente di matematica sa perfettamente che quando bisogna dimostrare che una definizione ricorsiva è equivalente a una definizione non ricorsiva l’induzione è il metodo principe. Inoltre se i primi valori della successione non ci fossero già stati forniti ce li saremmo probabilmente dovuti calcolare noi a mano. Ma è ancora più importante notare come di solito gli esercizi siano di una noia mortale, anche per coloro a cui piace la matematica… e non parliamo degli altri, quelli che la matematica la odiano a prescindere. I problemi, invece, possono essere causa di frustrazione quando non si riesce a cavare un ragno dal buco; ma almeno hanno il vantaggio di non essere noiosi e ripetitivi.
Dopo questo pippone, mi piacerebbe capire come si potrebbe applicare il tutto alla matematica che si insegna a scuola. Non essendo io un insegnante non so assolutamente cosa succeda in pratica; sono ragionevolmente convinto che fare un po’ di esercizi serva per “prendere la mano”, e ho dei grossi dubbi che in una classe, anche con un (bel) po’ di aiuto da parte del professore, siano in molti ad essere capaci di risolvere problemi. A dirla tutta non sono nemmeno convinto che sia necessario che tutti gli studenti debbano essere in grado di risolvere problemi matematici, ma qui usciamo parecchio dal seminato. Ma secondo voi avrebbe senso far fare meno esercizi e più problemi? E ci sarebbe un miglioramento nella percezione della matematica, oppure il comun sentire passerebbe da “roba noiosa e incomprensibile” a “roba astrusa e incomprensibile”? Perché diciamocelo: io posso apprezzare un problema matematico, anche perché sono abbastanza competitivo da cercare di risolverlo immediatamente, ma al 99% della gente magari la cosa non può interessare meno…
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