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I numeri naturali e gli assiomi di Peano

Parlare dei numeri naturali sembrerebbe per così dire naturale. È ovvio che uno, due, tre, quattro… sono lì e sono sempre stati lì, noti a tutti, no? Beh, non proprio. Esistono tribù primitive che non sapevano contare oltre a due, passando subito a “molti”. Non che queste tribù non fossero in grado di accorgersi se avevano perso un bambino o uno dei loro animali: per cose come queste non è affatto necessario saper contare :-)

No, non serve una memorie eidetica che con un solo colpo d’occhio vi faccia riconoscere la quantità di bimbi o animali, anche se sembra che per insiemi relativamente piccoli la cosa funzioni così pur non avendo un nome per indicare l’insieme. Molto più prosaicamente, la capacità che occorre è quella di fare una corrispondenza biunivoca. Se cominciamo a contare sul mignolo sinistro con il primo bambino e quando arriviamo all’ultimo siamo all’alluce del piede destro invece che al secondo dito, vuol dire che ci siamo persi qualcuno. Ci importa sapere che i bimbi sono sedici insieme che diciassette? In effetti no.

Passare però dal concetto di tre bimbi, o tre pecore o tre pietre, al concetto astratto della “treezza” o “treità” o “treaggine”, insomma al 3 come l’unica cosa che i tre bimbi, le tre pecore e le tre pietre hanno in comune è un salto logico incredibile, anche se noi non ce ne accorgiamo perché siamo abituati fin da piccoli. Arrivati così al concetto astratto di numero – nel mondo occidentale già gli egizi ce l’avevano, non è merito dei greci – i numeri hanno anche acquistato uno status quasi magico. Chiedere ai pitagorici per maggiori informazioni, oppure andare dai cabalisti ebraici: magari un’altra volta ne parlerò. Qui mi limito a ricordare come nell’antica Grecia si è cominciato a parlare di classi di numeri: i triangolari, i quadrati, i numeri pari che rappresentavano la separabilità e il principio femminile e venivano generati a partire da 2, e quelli dispari che rappresentavano l’interezza il principio maschile e venivano generati a partire da 3. Vi lascio ricavare da soli la nemmeno troppo sottile metafora sessuale e mi limito a rimarcare che 1 non era visto né come numero pari (e ci credo) né come numero dispari; questo perché era considerato il generatore dei numeri.

Zero naturalmente non entrava ancora nel discorso: era allora a tutti chiaro che se non c’è nulla non c’è un numero. Non parliamo poi dei numeri negativi: questa è un’altra storia, e anch’essa merita un’altra chiacchierata. Si è così andati avanti per più di due millenni, senza stare a preoccuparsi di quisquilie e pinzallacchere filosofiche. Funzionavano, no? Poi però nella seconda metà dell’Ottocento c’è stato il Movimento per la Assiomatizzazione della Matematica e le cose sono cambiate. Il problema? Beh, la geometria euclidea, che per centinaia e centinaia d’anni era stata il punto fermo su cui si fondava tutta la matematica, era diventata uno dei possibili modelli. Insomma, nessuno poteva mettere più la mano sul fuoco e dire che la somma degli angoli di un triangolo è due angoli retti: occorreva qualcos’altro su cui fondarsi.

La prima possibilità che veniva in mente per questa rifondazione matematica erano i numeri naturali. Dedekind e Weierstrass avevano già mostrato come definire i numeri reali a partire dai razionali, e un numero razionale non è altro che il rapporto tra due numeri naturali. Ma siamo sicuri che i naturali non ci facciano anche loro dei brutti scherzi, e che a un certo punto esca fuori l’aritmetica non euclidea? Sì, Leopold Kroneker poteva anche dire che Dio aveva creato i numeri naturali e tutto il resto era opera dell’uomo; ma l’uomo vorrebbe sapere come Dio aveva creato i numeri naturali. Bene: entra Giuseppe Peano.

Peano è la quintessenza del matematto. Non so se conti qualcosa il suo essere di Cuneo, ma di aneddoti su di lui ce ne sono a iosa; prima o poi parlerò anche di lui. Ciò non toglie che è stato un matematico di prim’ordine: tra le tante cose che ha fatto c’è stata per l’appunto la definizione di un insieme di assiomi per costruire i numeri naturali, assiomi che oggi prendono il nome da lui.

Peano, come Dio, crea i numeri a partire dal nulla… no, scusate: non arriva così in là; lui crea i numeri a partire dallo zero. Il primo dei suoi assiomi afferma infatti che esiste un numero naturale, che lui chiama 0. (Comunque, quando poi si decise di lasciar perdere anche i numeri e basarsi sugli insiemi, la scelta di partire dall’insieme vuoto a cui si associava lo zero si avvicina molto alla creazione dal nulla). Lo zero entra così surrettiziamente a far parte dei numeri naturali, anche se non tutti ne sono ancora convinti: la notazione N per alcuni indica i naturali a partire da 1 e per altri quelli a partire da 0, e in questo caso per il primo insieme si parla di N₊.

Il secondo concetto chiave di Peano è quello di successore. Dato un numero naturale qualsivoglia n, il secondo assioma afferma che ce n’è sempre un altro associato, indicato come Sn. Per dirla in modo forse più comprensibile, “quello che viene dopo”. Il terzo assioma specifica meglio il concetto di successore, imponendo che due numeri naturali diversi abbiano successori diversi; quindi se abbiamo un numero che sappiamo essere un successore, sappiamo anche esattamente di quale altro numero è il successore. Il quarto assioma serve poi a dare uno status ancora più importante allo 0; afferma infatti che 0 non è successiore di alcun numero. Questo assioma è necessario, perché potrebbe per esempio capitare – come nell’aritmetica modulare – che dopo le 23 l’orologio passa a segnare le ore 0.

Sappiamo insomma da dove partiamo. Ma dove arriviamo? Naturalmente all’infinito, e fin qua non ci piove: ma ci arriviamo in un modo solo. È questo il significato del quinto assioma di Peano, quello dell’induzione matematica: se una proprietà vale per 0, e sappiamo anche che se vale per un naturale qualsiasi n allora vale anche per Sn, tale proprietà vale per tutti i naturali. Come per il quinto postulato di Euclide, anche in questo caso dobbiamo lanciarci molto più in là del resto: in questo caso abbiamo un numero infinito di passaggi logici da eseguire, tutti comodamente impacchettati in un singolo postulato. Siete capaci, senza andare a sbirciare su Wikipedia, a scoprire cosa succederebbe senza il quinto postulato?

Dal contare i sassolini e i bambini siamo così arrivati a un sistema che si può dimostrare essere unico, a meno di isomorfismi. Come, “a meno di isomorfismi”? Beh, non c’è scritto da nessuna parte che S0=1, no? Che succede se diciamo che S0=2? Succede che funzionerebbe tutto alla perfezione, ma avremmo i numeri pari e non i numeri naturali. Lo stesso se S0=1/2; in questo caso avremo i semiinteri. Ma per quello che ci vogliamo fare, cioè contare, queste differenze non contano nulla. Siamo noi che abbiamo poi aggiunto delle altre strutture, che potremmo tranquillamente e univocamente ridefinire se cambiassimo il simbolo associato a S0. Il concetto di isomorfismo è per l’appunto questo: due rappresentazioni identiche una volta che associamo i concetti di una a quelli corrispondenti dell’altra. E associare i concetti ci serve, a meno che non ci piaccia dire che SS0 + SS0 = SSSS0…

D’accordo: spesso la matematica sembra complicare inutilmente quanto appare così naturale. Mettetela così: una volta che qualcuno si è accertato che non ci siano trappole logiche, uno può accettare fideisticamente il risultato e vivere felice.